Unicité d'un sous-groupe

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau supérieur au baccalauréat.

Modérateur : gdm_sco

Règles du forum
Merci de soigner la rédaction de vos messages et de consulter ce sujet avant de poster. Pensez également à utiliser la fonction recherche du forum.
ArthuroG
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 22
Inscription : mardi 21 avril 2020, 13:08

Re: Unicité d'un sous-groupe

Message par ArthuroG »

Bonjour,

oui, j'ai l'impression que c'est plus clair.
On sait que $G$ est un groupe cyclique d'ordre $n$.Il existe donc un élément $g$ qui l'engendre, ce qui permet d'écrire $G=<g>$.
On utilise ensuite le morphisme surjectif, qui est par définition :
$\begin{array}{lccl}
\pi : &G &\rightarrow& G/J \\

&g^k& \mapsto &\bar{g}^k=g^kJ

\end{array}$
On peut affirmer que $\pi(G)=<\pi(g)>$, soit $G/J=<aJ>$.
En passant au cardinal et en utilisant le th.de Lagrange, on obtient que $card(G)/card(J)=o(aJ)$ ce qui donne $\frac{n}{d}=o(aJ)$.

Par définition, l'ordre de l'élément $aJ$ du groupe $G/J$ est le plus petit entier $k$ tel que $(aJ)^k=\bar{e}$, où $\bar{e}$ désigne le neutre du groupe $G/J$. C'est ce point qui me bloque : justifier que ce neutre est J.

---
Je sais que $G/J$ signifie $G/\mathcal{R}_J$ où l'on note la relation d'équivalence $x\mathcal{R}_J y$ ssi. $x^{-1}y\in J$.
Ensuite, on note $\bar{x}=\{y\in J\mid x\mathcal{R}_J y\}=xJ$.
Puis, on écrit $G/J=\{\bar{x}\mid x\in G\}=\{xJ\mid x\in G\}$.

Je cherche le neutre de ce groupe, soit un élément $\bar{e}$ tel que pour tout $\bar{x}\in G/J$, on ait $\bar{x}\bar{e}=\bar{x}$.

Ce qui signifie $xJ \bar{e} = xJ$.

En prenant $\bar{e}=J$, on obtient l'égalité $xJ J = xJ$.

Je ne suis pas certain de ce que j'écris et j'ai l'impression que tout cela n'est pas rigoureux. Pouvez-vous m'aider ?
Encore merci de l'aide !

balf
Utilisateur chevronné
Utilisateur chevronné
Messages : 3985
Inscription : mercredi 02 janvier 2008, 23:18

Re: Unicité d'un sous-groupe

Message par balf »

Bonjour,
Il y a quelque chose qui n'est pas très clair dans vos notations: initialement, le générateur de $G$ s'appelait $a$, maintenant c'est $g$, ce qui n'est pas un problème en soi… sauf que vous introduisez un $a$ avec l'écriture $G/J=\langle\,aJ\,\rangle$. Quel est au juste le statut de cet $a$, par rapport à ce qui précède ?

B. A.

ArthuroG
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 22
Inscription : mardi 21 avril 2020, 13:08

Re: Unicité d'un sous-groupe

Message par ArthuroG »

Bonjour,
je suis vraiment désolé de cette approximation. En effet, l'élément $a$ est le générateur du groupe cyclique $G$. Je me suis trompé dans mon message précédent : il faut lire $a$ en lieu et place de $g$.
:oops: