Caractérisation d'un sous-groupe fini

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau supérieur au baccalauréat.
[participation réservée aux membres inscrits]
Règles du forum
Merci de soigner la rédaction de vos messages et de consulter ce sujet avant de poster. Pensez également à utiliser la fonction recherche du forum.
altario
Utilisateur débutant
Utilisateur débutant
Messages : 4
Inscription : jeudi 24 juin 2021, 21:21
Statut actuel : Étudiant

Caractérisation d'un sous-groupe fini

Message non lu par altario »

Bonjour à tous,
Il y a un point de mon cours que je ne comprend pas.

Soit $Z_p^*$ le groupe multiplicatif modulo $p$ d'ordre $p-1$.
G un sous groupe de $Z_p^*$ d'ordre $q$ premier, avec $q|p-1$ et $q^2$ ne divise pas $p-1$.
H un sous groupe de $Z_p^*$ d'ordre $\frac{p-1}{q}$.
f un morphisme de $Z_p^*$ dans $Z_p^*$ tel que $f(x)=x^q$.

Il est dit que $f(Z_p^*)=H$.
Donc que pour tout $x$ appartenant à $Z_ p^*$, $y= f(x)=x^q$ appartient à $H$.
Je comprend pas pourquoi ?
Je comprend que si $y$ appartient à $H$ alors $y^\frac{p-1}{q} \equiv 1 \mod p$ mais j'arrive pas à prouver que tous les $x^q$ appartiendraient forcement à $H$.
Merci d'avance !!!!
balf
Modérateur spécialisé
Modérateur spécialisé
Messages : 4053
Inscription : mercredi 02 janvier 2008, 23:18

Re: Caractérisation d'un sous-groupe fini

Message non lu par balf »

Bonjour,
Ce n'est pas bien compliqué: $\;(x^q\bigl)^{\tfrac{p-1}q}=x^{p-1}=1$, c-à-d. que l'ordre de $x^q$ est un diviseur de $\frac{p-1}q$.
D'autre part, d'après le théorème chinois, $\;\mathbf Z_p^\times\simeq G\times H$, et l'ordre d'un élément qui a une composante dans $G$ est divisible par $q$. Or l'ordre de $x^q$ n'est pas divisible par $q$ puisque, par hypothèse, $q^2$ ne divise pas $p-1$.

B. A.
altario
Utilisateur débutant
Utilisateur débutant
Messages : 4
Inscription : jeudi 24 juin 2021, 21:21
Statut actuel : Étudiant

Re: Caractérisation d'un sous-groupe fini

Message non lu par altario »

Merci pour ta réponse Mais j'ai quelques lacunes. J'ai pas bien compris à partir du "D'autre part" :

D'après le théorème chinois, $\;\mathbf Z_p^\times\simeq G\times H$, donc il existe une bijection qui à $x^q$ associe $(a,b)$ appartenant à $G\times H$, ça pas de soucis.


Comment tu peux parler de composante de $x^q$ ? même en sachant que $\;\mathbf Z_p^\times\simeq G\times H$ là tu montre que l'élément $(a,b)$ associé à $x^q$ par la bijection appartient à $H$ pas que $x^q$ apparient à $H$ non ?

Ensuite tu dis que l'ordre d'un élément qui a une composante dans $G$ est divisible par $q$.

C'est quoi un élément $(a,b)$ de $G\times H$ qui n'a pas de composante dans $G$ ?
Et comment tu sais que si il à pas de composante dans $G$ alors il appartient à $H$ ?
altario
Utilisateur débutant
Utilisateur débutant
Messages : 4
Inscription : jeudi 24 juin 2021, 21:21
Statut actuel : Étudiant

Re: Caractérisation d'un sous-groupe fini

Message non lu par altario »

En je ne vois même pas quel formulation du théorème des restes chinois tu utilises. :oops:
Comment seule l'information sur l'ordre de $G$ et $H$ peut te permettre de faire appelle à ce théorème ?
balf
Modérateur spécialisé
Modérateur spécialisé
Messages : 4053
Inscription : mercredi 02 janvier 2008, 23:18

Re: Caractérisation d'un sous-groupe fini

Message non lu par balf »

Oui, cette information suffit, parce qu'on sait que le groupe $\mathbf Z/p\mathbf Z^\times$ est cyclique. Comme $q$ divise $p-1$ et que $p$ et $\frac{p-1}q$ sont premiers entre eux, l'isomorphisme $\mathbf Z/(p-1)\mathbf Z\simeq \mathbf Z/q\mathbf Z \times \mathbf Z\big/\frac{p-1}q\mathbf Z$ en résulte, et donc $\mathbf Z/p\mathbf Z^\times\simeq G\times H$.

Ceci dit, $x^q$ ne peut avoir que la composante triviale dans $G$, sinon, l'ordre de cette composante serait $q$ (à cause que $q$ est premier) et donc $q$ diviserait l'ordre de $x^q$, qui est un diviseur de $\frac{p-1}q$ (car l'ordre d'un couple est le ppcm des ordres de chacune des composantes), ce qui est impossible.

J'espère avoir été un peu plus clair…

B. A.
altario
Utilisateur débutant
Utilisateur débutant
Messages : 4
Inscription : jeudi 24 juin 2021, 21:21
Statut actuel : Étudiant

Re: Caractérisation d'un sous-groupe fini

Message non lu par altario »

C'est niquel merci.
Juste t'aurais une preuve que "l'ordre d'un couple est le ppcm des ordres de chacune des composantes" je n'en trouve pas ?
balf
Modérateur spécialisé
Modérateur spécialisé
Messages : 4053
Inscription : mercredi 02 janvier 2008, 23:18

Re: Caractérisation d'un sous-groupe fini

Message non lu par balf »

Pour moi, ça saute aux yeux: le plus petit entier $m$ tel que $(a,b)^m=(1,1)$ est le plus petit entier tel qu'on ait à la fois $a^m=1$ et $b^m=1$. Mais si $a^m=1$, $m$ est un multiple de l'ordre de $a$, et de même, il est un multiple de l'ordre de $b$. Mais le plus petit entier $m$ qui soit multiple à la fois de l'ordre de $a$ et de celui de $b$, c'est bien le ppcm desdits ordres, non?
B. A.