Polynome minimal et Polynome caractéristique

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guiguiche
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Message non lu par guiguiche »

Si j'ai bien suivi : $B=\alpha A^2$ et $A$ est diagonalisable dans $C$ avec trois valeurs propres distinctes ? Donc on connait les trois valeurs valeurs propres, dans $\C$ de $B$ et alors on en déduit son polynôme caractéristique et son polynôme minimal, non ?
Kazik

Message non lu par Kazik »

guiguiche a écrit :Si j'ai bien suivi : $B=\alpha A^2$ et $A$ est diagonalisable dans $C$ avec trois valeurs propres distinctes ?
Oui.
guiguiche a écrit :Donc on connait les trois valeurs valeurs propres, dans $\C$ de $B$
comment?
guiguiche a écrit :et alors on en déduit son polynôme caractéristique et son polynôme minimal, non ?
mais comment ?
guiguiche
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Message non lu par guiguiche »

Comment ? On diagonalise $A$ dans une base de vecteurs propres.

Arnaud+1 pour te lancer dans les calculs : ce n'est pas si compliqué que cela et tu disposes de toutes les méthodes nécessaires dans les messages qui précèdent.
Kazik

Message non lu par Kazik »

$A=\begin{pmatrix}0&2&1&\\-2&0&3&\\-1&-3&0&\end{pmatrix}$

Donc je cherche les valeurs propres de $A$ dans $\mathbb{C}$ :
$\lambda=0$, $\lambda=\sqrt{14}$ ou $\lambda=-\sqrt{14}$ ?

Je dois chercher :
$E_0$, $E_{\sqrt{14}}$ et $E_{-\sqrt{14}}$ ?
Arnaud
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Message non lu par Arnaud »

@Kazik : on connait les valeurs propres de $A$, et ce n'est pas ce que tu viens d'écrire, tu as déjà fait 2 pages de calcul pour cela.
Ce qu'on cherche ici c'est les valeurs propres de $B$, donc il faut partir de $B$, comme tu le faisais en page 4, tu as d'ailleurs déjà écrit le déterminant à calculer, alors maintenant calcule le.

@guiguiche : les valeurs propres de $B$ ne sont plus distinctes, il y en a une de multiplicité 2.
Arnaud
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Kazik

Message non lu par Kazik »

Ok donc j'ai calculer :
$det(B-XI)=14^{1002}\begin{vmatrix}-5-X&-3&6\\-3&-13-X&-2\\6&-2&-10-X\end{vmatrix}$

Je trouve que :
$\begin{vmatrix}-5-X&-3&6\\-3&-13-X&-2\\6&-2&-10-X\end{vmatrix}=-X(14+X)^2$

Donc :
$det(B-XI)=-14^{1002}X(14+X)^2$

??
guiguiche
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Message non lu par guiguiche »

Arnaud a écrit :@guiguiche : les valeurs propres de $B$ ne sont plus distinctes, il y en a une de multiplicité 2.
Je l'avais certes oublié au début mais qu'est ce que cela change avec $A=P^{-1}DP$ lorsqu'on calcule $A^2$ ?
Si çà se trouve, je dis encore une ânerie, c'est mon jour.
Arnaud
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Message non lu par Arnaud »

Oui Kazik, c'est juste.

@guiguiche : moi aussi, j'en raconte des âneries, je crois qu'il vaut mieux arrêter le massacre là :D, surtout que j'ai l'impression qu'on ne parle pas de la même chose.

Laissons Kazik terminer son exo en toute sérénité !
Arnaud
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Message non lu par guiguiche »

Arnaud a écrit :Laissons Kazik terminer son exo en toute sérénité !
Oui, ce sera mieux comme cela.
Kazik

Message non lu par Kazik »

J'ai toujours du mal entre $P_{car}$ et $P_{min}$. Je vois pas comment trouver le $P_{min}$ ici.
Arnaud
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Message non lu par Arnaud »

Pareil que pour $A$ : $P_{min}$ a les mêmes racines que $P_{car}$, donc tu n'as que deux choix possibles.
Arnaud
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Message non lu par guiguiche »

Arnaud a écrit :Pareil que pour $A$ : $P_{min}$ a les mêmes racines que $P_{car}$, donc tu n'as que deux choix possibles.
Arnaud, tu cèdes déjà à la tentation ? Le diable t'emporte :lol: :lol: :lol: :lol:
Kazik

Message non lu par Kazik »

Donc l'ensemble des racines de $P_{car}$ c'est $\{0,-14\}$ donc l'ensemble des racines de $P_{min}$ sera aussi $\{0,-14\}$

C'est donc soir $X(X+14)$ soit $X(X+14)^2$ ?
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Message non lu par Arnaud »

Raaah, j'ai pas donné le résultat... Il a quand même encore du boulot.
Kazik

Message non lu par Kazik »

c'est pas bon ?
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Message non lu par Arnaud »

Si c'est juste Kazik, mais on a posté en même temps.
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Message non lu par guiguiche »

Kazik a écrit :c'est pas bon ?
Je cède moi aussi. Fait un calcul pour vérifier si c'est bien un polynôme annulateur.
Kazik

Message non lu par Kazik »

Ok, j'ai donc calculer $A(A+14I)$ je trouve 0 d'ou $P_{min}=X(X+14)$
Arnaud
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Message non lu par Arnaud »

Oula, soit tu as fait des fautes de frappe, soit c'est pas du tout ça.
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Message non lu par guiguiche »

Kazik a écrit :Ok, j'ai donc calculer $A(A+14I)$ je trouve 0 d'ou $P_{min}=X(X+14)$
C'est $B$ à la place de $A$ ?
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