Groupe produit
-
- Utilisateur chevronné
- Messages : 2287
- Inscription : mercredi 19 novembre 2008, 15:35
- Statut actuel : Autre
Re: Groupe produit
:weight_lift: Dur! Dur!
On a montré qu'à l'application $F:(h,k)\mapsto hk$
il "correspondait" une application $G:(h',k')\mapsto x\mapsto hk$
Comme elles ont le même ensemble d'arrivée, il y a une bijection entre les ensembles de départ. Celui de $F$ a pour cardinal $|H||K|$, pour l'autre le résultat est donné mais, malgré votre aide, j'ai du mal à me le représenter.
Pourquoi le cardinal des $(h',k')$ est $|HK|$ ?
Notamment que fait t-on des $(h',k')$ tels que $F('h,k)\neq F(h,k)$ ?
On a montré qu'à l'application $F:(h,k)\mapsto hk$
il "correspondait" une application $G:(h',k')\mapsto x\mapsto hk$
Comme elles ont le même ensemble d'arrivée, il y a une bijection entre les ensembles de départ. Celui de $F$ a pour cardinal $|H||K|$, pour l'autre le résultat est donné mais, malgré votre aide, j'ai du mal à me le représenter.
Pourquoi le cardinal des $(h',k')$ est $|HK|$ ?
Notamment que fait t-on des $(h',k')$ tels que $F('h,k)\neq F(h,k)$ ?
Re: Groupe produit
Il n'a pas été question de cette application jusqu'à présent, ou je ne comprends pas trop ce que vous voulez dire. D'ailleurs, je ne comprends pas ce que représente pour vous x|—> hkpaspythagore a écrit : On a montré qu'à l'application $F:(h,k)\mapsto hk$
il "correspondait" une application $G:(h',k')\mapsto x\mapsto hk$
A priori, l'ensemble de départ de G, tel que vous le définissez, est le même que celui de F : H × K.Comme elles ont le même ensemble d'arrivée, il y a une bijection entre les ensembles de départ. Celui de $F$ a pour cardinal $|H||K|$, pour l'autre le résultat est donné mais, malgré votre aide, j'ai du mal à me le représenter.
Je n'ai pas dit ça ; il est égal à |H|·|K| (voir ci-dessus).Pourquoi le cardinal des $(h',k')$ est $|HK|$ ?
Rien de spécial ; je crois que le problème vient de ce que vous n'adoptez pas le bon point de vue : on a une application surjective de H × K dans le sous-groupe que l'on note HK, définie par (h,k) |—> hk. Comme toutes les applications, elle permet de définir une partition de H × K en regroupant dans la même classe les couples qui ont la même image dans HK. Dès lors, le cardinal de H × K est égal à la somme des cardinaux de chacune des classes. Le nombre de classes est égal à |HK|, puisque l'application est surjective. D'autre part, toutes les classes ont le même nombre d'éléments, savoir |H $\cap$ K|, à cause de la bijection entre la classe d'un couple (h,k) et H $\cap$ K.Notamment que fait t-on des $(h',k')$ tels que $F('h,k)\neq F(h,k)$ ?
B.A.
Re: Groupe produit
J'ai retrouvé où intervenait G : à un élément x de H $\cap$ K, il fait correspondre l'élément (hx, x$^{\mathsf{-1}}$k) de F$^{\mathsf{-1}}$(F(h,k), le couple (h,k) étant fixé. Autrement dit, il définit une application (bijective) de H $\cap$ K vers la classe de (h,k).
B.A.
B.A.
-
- Utilisateur chevronné
- Messages : 2287
- Inscription : mercredi 19 novembre 2008, 15:35
- Statut actuel : Autre
Re: Groupe produit
Bonjour.
Je viens de tomber sur un exercice qui me rappelle que je n'avais déjà pas compris il y a 6 mois. Comme c'est le même que celui-ci ou un cas particulier, je souhaiterai que vous m'aidiez à le résoudre pour ensuite refaire celui que j'avais déjà énoncé.
Faut il commencer par :
$\forall h,h'\in H, \forall k, k'\in K$ et essayer de trouver $hk\neq h'k'$ ?
Je viens de tomber sur un exercice qui me rappelle que je n'avais déjà pas compris il y a 6 mois. Comme c'est le même que celui-ci ou un cas particulier, je souhaiterai que vous m'aidiez à le résoudre pour ensuite refaire celui que j'avais déjà énoncé.
Je ne sais pas où aller.Soit $G$ un groupe fini ; on suppose qu'il existe deux sous-groupes $H$ et $K$ de $G$ tels que pgcd$(|H|,|K|)=1$, ce qui entraine $H\cap K=\{e\}$.
En déduire que $|HK|=|H|.|K|$
Faut il commencer par :
$\forall h,h'\in H, \forall k, k'\in K$ et essayer de trouver $hk\neq h'k'$ ?
Re: Groupe produit
On suppose qu'il existe des couples (h,k) et h',k') tels que hk = h' k' et se débrouille pour montrer que nécessairement h = h' et k = k'. Comme la réciproque est évidente, cela suffit pour montrer qu'on obtient une bijection en associant à un élément x de HK l'unique couple (h, k) tel que hk = x.
B.A.
B.A.
-
- Utilisateur chevronné
- Messages : 2287
- Inscription : mercredi 19 novembre 2008, 15:35
- Statut actuel : Autre
Re: Groupe produit
Bonjour.
Je tente de nouveau cet exercice :
Je tente de nouveau cet exercice :
On a $H\cap K=\{e\}$.
On suppose qu'il existe $h,h'\in H$ et $k,k'\in K$ tel que $hk=h'k'$
On a donc $h=h'k'k^{-1}\in H$ avec $h'\in H$, donc $k'k^{-1}\in H\cap K$,
c'est à dire $k'k^{-1}=e$ donc $k'=k$
Donc $\forall h,k\in H\times K, \exists!x\in HK, x=hk$.
Donc $|HK|=|H|.|K|$
Re: Groupe produit
C'est presque ça., mais vous n'avez pas montré que h = h' . Vous pouvez obtenir les deux en récrivant l'égalité sous la forme :
h'⁻¹ h = k' k⁻¹.
B.A.
h'⁻¹ h = k' k⁻¹.
B.A.
-
- Utilisateur chevronné
- Messages : 2287
- Inscription : mercredi 19 novembre 2008, 15:35
- Statut actuel : Autre
Re: Groupe produit
Merci.
Puisque j'ai compris cet exercice, je vais retenter le précédent.
On choisit $x\in H\cap K$, on a donc $x\in H$ et $x^{-1}\in K$.
Donc aussi $hx\in H$ et $x^{-1}k\in K$, donc $hxx^{-1}k\in HK$.
Or $h'k'=hxx^{-1}k=hk$ avec $h'=hx$ et $k'=x^{-1}k$.
Pour démontrer : $\exists x\in H\cap K, h'=hx$ et $k'=x^{-1}k\Longrightarrow hk=h'k'$.
$\exists x\in H\cap K, h'=hx$ et $k'=x^{-1}k\Longrightarrow h'k'=hxx^{-1}k=hk$
Pour chaque valeur fr $(h',k')$, il existe un unique $x\in h\times K$ tel que $h'=hx$ et $k'=x^{-1}k$.
Il y a donc une bijection qui à chaque couple $(h',k')$ de $F^{-1}(F(h,k))$ associe un unique $x$ de $H\cap K$ tel que $x=h^{-1}h'$.
Notre bijection signifie que 2 ensembles ont le même nombre d'éléments ?
Je pensais $|H\times K| = |H|\cdot|K|=|H\cap K|$, parce qu’il y a une bijection entre $H\times K$ et $H\cap K$.
Mais le résultat à démontrer n'est pas celui là, je n'ai donc pas compris que représentent les 2 ensembles (de départ et d'arrivée) de la bijection du b).
Puisque j'ai compris cet exercice, je vais retenter le précédent.
On veut démontrer $hk=h'k'\Longrightarrow\exists x\in H\cap K, h'=hx$ et $k'=x^{-1}k$.pour tout ensemble fini $X$, on note $|X|$ le cardinal de $X$.
Soit $G$ un groupe fini. Soient $H$ et $K$ deux sous-groupes de $G$.
Le but de cet exercice est de démontrer l'identité :
$$|H\cap K||HK|=|H||K|,$$
a) Soit : $$F:H\times K\to HK,$$
$$(h,k)=hk.$$
la surjection naturelle.
Soit $(h,k)$ et $(h',k')$ deux éléments de $H\times K$. Montrer que :
$$F(h,k)=F(h',k')$$
si et seulement s'il existe $x\in H\cap K$ vérifiant $h'=hx$ et $ k'=x^{-1}k$.
On choisit $x\in H\cap K$, on a donc $x\in H$ et $x^{-1}\in K$.
Donc aussi $hx\in H$ et $x^{-1}k\in K$, donc $hxx^{-1}k\in HK$.
Or $h'k'=hxx^{-1}k=hk$ avec $h'=hx$ et $k'=x^{-1}k$.
Pour démontrer : $\exists x\in H\cap K, h'=hx$ et $k'=x^{-1}k\Longrightarrow hk=h'k'$.
$\exists x\in H\cap K, h'=hx$ et $k'=x^{-1}k\Longrightarrow h'k'=hxx^{-1}k=hk$
$F^{-1}(F(h,k))=F^{-1}(hk)=\{h',k'|h'k'=hk\}$b) En déduire que, pour tout $(h,k)\in H\times K$, on a une bijection entre $F^{-1}(\{F(h,k)\})$ et $H\cap K$.
Pour chaque valeur fr $(h',k')$, il existe un unique $x\in h\times K$ tel que $h'=hx$ et $k'=x^{-1}k$.
Il y a donc une bijection qui à chaque couple $(h',k')$ de $F^{-1}(F(h,k))$ associe un unique $x$ de $H\cap K$ tel que $x=h^{-1}h'$.
$|H\cap K||HK|=|H||K|,$c) conclure.
Le but de cet exercice est de démontrer l'identité :
$$|H\cap K||HK|=|H||K|,$$
Notre bijection signifie que 2 ensembles ont le même nombre d'éléments ?
Je pensais $|H\times K| = |H|\cdot|K|=|H\cap K|$, parce qu’il y a une bijection entre $H\times K$ et $H\cap K$.
Mais le résultat à démontrer n'est pas celui là, je n'ai donc pas compris que représentent les 2 ensembles (de départ et d'arrivée) de la bijection du b).
Re: Groupe produit
Pour a), vous ne montrez pas la première implication (si hk = h' k', il existe x dans H ∩ K tel que …), mais seulement la réciproque. Dans cette implication, il ne peut s'agir de prendre un x a priori, mais (h,k) et (h',k') étant donnés, de montrer qu'il existe bien un tel x, c.-à-d. de l'exprimer en fonction de h, h', k, k'.
b) L'unicité de x n'a pas été montrée. C'est elle qui détermine le fait qu'on ait une bijection (et en même temps, que l'application F existe).
Mais H × K n'est pas en bijection avec H ∩ K ! Ce n'est pas ce que dit la question précédente. Elle dit seulement que chacun des F⁻¹(F(hk)) esr en bijection avec H ∩ K. Mais ce ne sont que des parties de H × K.
B.A.
b) L'unicité de x n'a pas été montrée. C'est elle qui détermine le fait qu'on ait une bijection (et en même temps, que l'application F existe).
Mais H × K n'est pas en bijection avec H ∩ K ! Ce n'est pas ce que dit la question précédente. Elle dit seulement que chacun des F⁻¹(F(hk)) esr en bijection avec H ∩ K. Mais ce ne sont que des parties de H × K.
B.A.
-
- Utilisateur chevronné
- Messages : 2287
- Inscription : mercredi 19 novembre 2008, 15:35
- Statut actuel : Autre
Re: Groupe produit
$h'k'=hk$ donc $h'=hkk'^{-1}$ et $k'=h'^{-1}hk$balf a écrit :Pour a), vous ne montrez pas la première implication (si hk = h' k', il existe x dans H ∩ K tel que …), mais seulement la réciproque. Dans cette implication, il ne peut s'agir de prendre un x a priori, mais (h,k) et (h',k') étant donnés, de montrer qu'il existe bien un tel x, c.-à-d. de l'exprimer en fonction de h, h', k, k'.
Comme $h'$ et $h$ appartiennent à $H$, $kk'^{-1}\in H\cap K$, et
Comme $k'$ et $k$ appartiennent à $K$, $h'^{-1}h\in H\cap K$.
D'autre part $kk'^{-1}\cdot h'^{-1}h=e$, donc $kk'^{-1}=(h'^{-1}h)^{-1}\in H\cap K$.
Donc il existe $x\in H\cap K, h'=hx\text{ et }k'=x^{-1}k$
Du coup, ça montre aussi l'unicité de $x$.
$\forall(h,k)\in H\times K$, on a une bijection entre $F^{-1}\Big(\big\{F(h,k)\big\}\Big)$ et $H\cap K$.b) L'unicité de x n'a pas été montrée. C'est elle qui détermine le fait qu'on ait une bijection (et en même temps, que l'application F existe).
Mais H × K n'est pas en bijection avec H ∩ K ! Ce n'est pas ce que dit la question précédente. Elle dit seulement que chacun des F⁻¹(F(hk)) esr en bijection avec H ∩ K. Mais ce ne sont que des parties de H × K.
B.A.
Cela veut dire qu'il y a une bijection entre l'ensemble des $(h',k')$ (il y en a $|HK|$ ensembles) tels que $(h',k'))\in H\times K,h'k'=hk$ et $H\cap K$ (les ensembles des $(h',k')$ ont donc $|H\cap K|$ éléments).
Donc $|H\cap K||HK|=|H||K|$.
Re: Groupe produit
C'est ça. Pour a), on peut faire plus court en déduisant directement de hk = h' k' l'égalité h'⁻¹h = k' k⁻¹.
B.A.
B.A.
-
- Utilisateur chevronné
- Messages : 2287
- Inscription : mercredi 19 novembre 2008, 15:35
- Statut actuel : Autre
Re: Groupe produit
Merci.
-
- Sujets similaires
- Réponses
- Vues
- Dernier message