je peine à résoudre cet exercice. J'ai di mal à trouvé un point et l'angle de ce vissage.
Un vissage c'est la composée d'une rotation (partie linéaire) et d'une translation (partie affine).Soit $\mathcal{E}$ un espace affine euclidien de dimension $3$, soient $a,b$ et $c$ trois nombres réels et soit $f$ l'application de $\mathcal{E}$ dans $\mathcal{E}$ donnée, dans un certain repère orthonormé $\mathcal{R}$ de $\mathcal{E}$, par la formule :
$$\begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix}\mapsto1/3\begin{pmatrix}x+2y-z+3a\\2x+y+2z+3b\\2x-2y-z+3c \end{pmatrix}$$
Montrer que $f$ est un vissage.
Déterminez en fonction de $a,b$ et $c$, son axe, son vecteur de glissement, et son angle au signe près.
Pour quelles valeurs de $(a,b,c)$ ce vissage est une rotation.
J'aurai aimé trouvé $1$ pour le déterminant de cette matrice (partie linéaire) et dire que c'est une isométrie, mais je ne trouve pas $1$.
Peut être une erreur dans l’énoncé.
Pour trouver l'axe vectoriel, je résous :
$$\left \{ \begin{array}{cccccccccc} x & +&2y&-&z&=&x \\ 2x & +&y&+&2z&=&y\\2c&-&2y&-&z&=&z \\ \end{array} \right;$$
Je trouve la droite vectorielle $y\begin{pmatrix}-2\\1\\-3\end{pmatrix}$
Pour trouver un point de cette droite, je ne sais pas comment faire.
Pour trouver l'angle de la rotation, dur, dur, il faudrait que j'arrive à une matrice ressemblant à :
$\begin{pmatrix}1&0&0&f_1(a,b,c)\\0&\cos t&-\sin t&f_2(a,b,c)\\0&\sin t&\cos t&f_3(a,b,c)\\0&0&0&1\end{pmatrix}$
mais je n'y arrive pas.
Merci de votre aide.