Vissage

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paspythagore
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Vissage

Message non lu par paspythagore »

Bonjour,

je peine à résoudre cet exercice. J'ai di mal à trouvé un point et l'angle de ce vissage.
Soit $\mathcal{E}$ un espace affine euclidien de dimension $3$, soient $a,b$ et $c$ trois nombres réels et soit $f$ l'application de $\mathcal{E}$ dans $\mathcal{E}$ donnée, dans un certain repère orthonormé $\mathcal{R}$ de $\mathcal{E}$, par la formule :
$$\begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix}\mapsto1/3\begin{pmatrix}x+2y-z+3a\\2x+y+2z+3b\\2x-2y-z+3c \end{pmatrix}$$
Montrer que $f$ est un vissage.

Déterminez en fonction de $a,b$ et $c$, son axe, son vecteur de glissement, et son angle au signe près.
Pour quelles valeurs de $(a,b,c)$ ce vissage est une rotation.
Un vissage c'est la composée d'une rotation (partie linéaire) et d'une translation (partie affine).
J'aurai aimé trouvé $1$ pour le déterminant de cette matrice (partie linéaire) et dire que c'est une isométrie, mais je ne trouve pas $1$.
Peut être une erreur dans l’énoncé.
Pour trouver l'axe vectoriel, je résous :
$$\left \{ \begin{array}{cccccccccc} x & +&2y&-&z&=&x \\ 2x & +&y&+&2z&=&y\\2c&-&2y&-&z&=&z \\ \end{array} \right;$$
Je trouve la droite vectorielle $y\begin{pmatrix}-2\\1\\-3\end{pmatrix}$
Pour trouver un point de cette droite, je ne sais pas comment faire.
Pour trouver l'angle de la rotation, dur, dur, il faudrait que j'arrive à une matrice ressemblant à :
$\begin{pmatrix}1&0&0&f_1(a,b,c)\\0&\cos t&-\sin t&f_2(a,b,c)\\0&\sin t&\cos t&f_3(a,b,c)\\0&0&0&1\end{pmatrix}$

mais je n'y arrive pas.

Merci de votre aide.
kojak
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Re: Vissage

Message non lu par kojak »

Bonjour,

Il y a un pb dans ta matrice de rotation : elle n'est pas orthogonale. A mon avis, à la première ligne, c'est $x+2y-2z$ qu'il faut lire, et dans ce cas, ça fonctionne nickel.
J'aurai aimé trouvé $1$ pour le déterminant de cette matrice (partie linéaire) et dire que c'est une isométrie
Ça ne suffit pas pour avoir une isométrie. Il faut tout d'abord montrer que ta matrice est orthogonale, donc là tu seras certain d'avoir une isométrie. Ensuite, suivant ton déterminant, tu pourras savoir si c'est une rotation, ou symétrie, ou composée des 2.

Pour montrer que ta matrice est orthogonale : produit scalaire 2 à 2 des vecteurs colonnes nul et norme de chacun des vecteurs colonnes égale à $1$.
Pour trouver l'axe vectoriel, je résous :
Erreur classique : tu as oublié le $1/3$ devant la matrice, c'est à dire aussi directement le $3$ dans le membre de droite
$\begin{cases}
=3x\\
=3y\\
=3z\end{cases}$
Pour trouver l'angle de la rotation
Penser à l’invariance de la trace par changement de base. Tu as bien écrit ta matrice de rotation dans une "bonne base", et donc tu peux obtenir le cosinus de ton angle, ce qui suffirait ici, car on te dit
au signe près
Pour obtenir la droite affine de ton vissage pour la trouver : que penses-tu d'un point $M$ de cet axe de vissage ? où est son image $M'$ ? et donc comment est le vecteur $\vv{MM'}$ ? donc comment vas tu t'y prendre pour le déterminer ? Pour moi, ceci est le plus simple à faire.
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paspythagore
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Re: Vissage

Message non lu par paspythagore »

Merci.
Avec le bon énoncé, je vais essayer.
$^tMM=Id_3$ donc $f$ est une isométrie.
$\det f=1$, c'est une isométrie directe.

En résolvant le système $\left \{ \begin{array}{cccccccccc} x & +&2y&-&z&=&x \\ 2x & +&y&+&2z&=&y\\2c&-&2y&-&z&=&z \\ \end{array} \right;$ ou en observant que $f(e_1+e_2)=e_1+e_2$, on trouve donc l'axe vectoriel du vissage : $e_1+e_2$.

Après, j'ai plus de mal : $\Tr M=2\cos\theta+1=\dfrac{1}{3}$, $\cos\theta =\dfrac{-1}{3}$.

Je comprends mal comment trouver un point de l'axe du vissage, la translation est de vecteur $3(a,b,c)$ ?
kojak
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Re: Vissage

Message non lu par kojak »

paspythagore a écrit : $^tMM=Id_3$
Ceci est trop long à faire : il vaut mieux faire ce que je t'ai indiqué qui est beaucoup plus rapide :
kojak a écrit :Pour montrer que ta matrice est orthogonale : produit scalaire 2 à 2 des vecteurs colonnes nul et norme de chacun des vecteurs colonnes égale à $1$.

paspythagore a écrit : $\det f=1$, c'est une isométrie directe
Oui.
paspythagore a écrit : En résolvant le système $\left \{ \begin{array}{cccccccccc} x & +&2y&-&z&=&x \\ 2x & +&y&+&2z&=&y\\2c&-&2y&-&z&=&z \\ \end{array} \right;$
Non, ce n'est pas le bon système : il manque le $\dfrac13$ devant à droite et tu n'as pas changé le coeff de $z$ à la première ligne : c'est $AX=X$ c'est à dire

$\begin{cases}
\dfrac13(x+2y-2z)=x\\
\\
\dfrac13(2x+y+2z)=y\\
\\
\dfrac13(2x-2y-z)=z
\end{cases}$ qu'il faut résoudre ou en multipliant par $3$ :

$\begin{cases}
x+2y-2z=3x\\
2x+y+2z=3y\\
2x-2y-z=3z
\end{cases}$
paspythagore a écrit : ou en observant que $f(e_1+e_2)=e_1+e_2$, on trouve donc l'axe vectoriel du vissage : $e_1+e_2$.
Oui
paspythagore a écrit : Après, j'ai plus de mal : $\Tr M=2\cos\theta+1=\dfrac{1}{3}$,
Attention, la trace de ta matrice ce n'est pas $\dfrac13$ mais $-\dfrac13$, donc ton cosinus change. Sinon, c'est bien la méthode.
paspythagore a écrit : Je comprends mal comment trouver un point de l'axe du vissage, ?
Réponds à ces questions :
paspythagore a écrit :que penses-tu d'un point $M$ de cet axe de vissage ? où est son image $M'$ ? et donc comment est le vecteur $\vv{MM'}$ ?
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paspythagore
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Re: Vissage

Message non lu par paspythagore »

La trace de :
$\begin{pmatrix} 1&2&-2\\2&1&2\\2&-2&-1 \end{pmatrix}$
c'est $1$ ? donc $\dfrac{1}{3}$, et $2\cos\theta+1=\dfrac{1}{3}$, i.e. $\theta=\pm\arccos\left(\dfrac{-1}{3}\right)$
que penses-tu d'un point $M$ de cet axe de vissage ? où est son image $M'$ ? et donc comment est le vecteur $\vv{MM'}$ ?
$\vv{MM'}=k(e_1+e_2)$
Si $M$ est sur l'axe du vissage $M'$ aussi.
kojak
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Re: Vissage

Message non lu par kojak »

paspythagore a écrit : $2\cos\theta+1=\dfrac{1}{3}$, i.e. $\theta=\pm\arccos\left(\dfrac{-1}{3}\right)$
Oui, tu as parfaitement raison. J'sais plus compter....
paspythagore a écrit : $\vv{MM'}=k(e_1+e_2)$
Si $M$ est sur l'axe du vissage $M'$ aussi.
Tout à fait. Il reste donc à résoudre ce système et trouver la valeur de $k$ qui permet d'avoir des solutions, et tu trouveras par la même occasion un point de ton axe de vissage.
Pas d'aide par MP.
paspythagore
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Re: Vissage

Message non lu par paspythagore »

Bonjour.

Je ne sais pas quoi résoudre.

Résoudre :
$$\left \{ \begin{array}{cccccccccc}x+2y-2z=3k\\2x+y+2z=3k\\2x-2y-z=0\end{array} \right;$$
me donnerait un vecteur.

Et avec $\vv{MM'}=k(e_1+e_2)$, je ne vois pas comment trouver un point.
kojak
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Re: Vissage

Message non lu par kojak »

Bonjour,

Il faut résoudre $\vv{MM'}=k(\vv{e_1}+\vv{e_2})$ comme tu l'as écrit plus haut, sachant que les coordonnées du point $M'$ sont

$$1/3\begin{pmatrix}x+2y-z+3a\\2x+y+2z+3b\\2x-2y-z+3c \end{pmatrix}$$ et celles de $M(x,y,z)$, donc ton système n'est pas correct.

Donc, il faut d'abord exprimer en fonction de $x,y,z$ et bien sûr $a,b$ et $c$ les coordonnées de $\vv{MM'}$ et ensuite, tu écris que tout ceci doit être égal à $k(\vv{e_1}+\vv{e_2})$ pour que ton point $M$ soit sur l'axe de ton vissage, ie tu vas obtenir une condition sur $k$, à l'aide du pivot de Gauss, - les inconnues sont $x,y$ et $z$ - de façon à ce que ce système admette une solution, et de là tu obtiendra alors les coordonnées d'un point de ton axe.
Pas d'aide par MP.
paspythagore
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Re: Vissage

Message non lu par paspythagore »

Bonsoir.
Est ce que l'idée est de dire : $\vv{MM'}=k(\vv{e_1}+\vv{e_2})$, on choisit par exemple $k=1$, On dit que $\vv{MM'}$, c'est $\vv{Mf(M)}$ avec $M(x,y,z)$ et $f(M)$ vérifie :

$$\begin{pmatrix}x+2y-2z-3a-x=1\\2x+y+2z-3b-y=1\\2x-2y-z-3c-z=0 \end{pmatrix}$$
D'où on va donc déduire les valeurs de $M$ pour $k=1$, c''est à dire un point de l'axe du vissage et c'est fini ?
kojak
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Re: Vissage

Message non lu par kojak »

Bonjour,
paspythagore a écrit : Est ce que l'idée est de dire : $\vv{MM'}=k(\vv{e_1}+\vv{e_2})$, on choisit par exemple $k=1$
Non, tu ne peux pas chosiir$k=1$ ou autre car tu ne connais pas précisément ton vecteur de vissage. Tu sais seulement qu'il est colinéaire $\vv{e_1}+\vv{e_2}$

paspythagore a écrit : On dit que $\vv{MM'}$, c'est $\vv{Mf(M)}$ avec $M(x,y,z)$
oui
paspythagore a écrit : et $f(M)$ vérifie
la formule :
$$1/3\begin{pmatrix}x+2y-2z+3a\\2x+y+2z+3b\\2x-2y-z+3c \end{pmatrix}$$
On résout le système sans oublier ce $1/3$. $\vv{MM'}=k(\vv{e_1}+\vv{e_2})$
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paspythagore
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Re: Vissage

Message non lu par paspythagore »

Non, tu ne peux pas choisir $k=1$ ou autre car tu ne connais pas précisément ton vecteur de vissage. Tu sais seulement qu'il est colinéaire $\vv{e_1}+\vv{e_2}$
Je n'avais compris que le vecteur de vissage était constant. je pensais que c’était n'importe que vecteur de la droite vectorielle $\R(e_1+e_2)$.

Je recommence en espérant ne pas avoir fait trop de fautes de calculs.
$x+2y-2z+3a-3x=3k$
$2x+y+2z+3b-3y=3k$
$2x-2y-z+3c-3z=0$


$-2x+2y-2z=3k-3a$
$2x-2y+2z=3k-3b$
$2x-2y-4z=-3c $

L1+L3: $-3z+3a+3c-3x-3z=3k$ d'où on tire $z=\dfrac{a+c-k}{2}$

2 L2 + L3 : $6x-6y=6k-6b-3c$, soit la droite $y=c+b+c/2-k$

L1+L2 : $3x+3y+3a+3b-3x=3k$ d'où on tire $k=\dfrac{a+b}{2}$

On obtient l'équation de la droite du vissage (stable par $f$) : $y=x+1/2(b+c-a)$ appartenant au plan $z=1/2(c-b)$
passant par exemple par $\left(0,\dfrac{b+c-a}{2},\dfrac{c-b}{2}\right)$
kojak
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Re: Vissage

Message non lu par kojak »

bonsoir,

Je suis d'accord pour la valeur de $k$ obtenue, mais pas celle de $z$. J'ai $z=\dfrac{a-b+2c}{2}$, que ce soit avec mon calcul qu'avec le tien.
$z=\dfrac{a+c-k}{2}$


Pour l’ordonnée de ton point, je suis d'accord avec toi.
Je n'avais compris que le vecteur de vissage était constant. je pensais que c’était n'importe que vecteur de la droite vectorielle $\R(e_1+e_2)$.
Ben non : un vissage, c'est la composée commutative d'une rotation et d'une translation : tu tournes et tu montes, comme lorsque tu visses avec ton tournevis :wink:
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Re: Vissage

Message non lu par paspythagore »

Merci.

Je n'avais "percuté" que le vecteur $\vv{Mf(M)}$ était évidemment celui de notre translation.
kojak
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Re: Vissage

Message non lu par kojak »

Bonjour,
paspythagore a écrit : Je n'avais "percuté" que le vecteur $\vv{Mf(M)}$ était évidemment celui de notre translation.
Et oui. Tout point de l'axe de vissage ne tourne pas, mais subit seulement la translation de vecteur ici $\dfrac{a+b}{2}(\vv{e_1}+\vv{e_2})$.
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paspythagore
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Re: Vissage

Message non lu par paspythagore »

J'ai décidément un problème sur ce calcul :
$\left\{\begin{array}{cccc}-2x+2y-2z&=&3k-3a\\2x-2y+2z&=&3k-3b\\2x-2y-4z&=&-3c
\end{array}\right.$

J'ai refait mes calculs.

Avec $L1+L3$, je trouve $z=\dfrac{a+c-k}{2}$
Avec $2L2+L3$, je trouve $y=x-k+b+\dfrac{c}{2}$
Avec $L1+L2$, je trouve $k=\dfrac{a+b}{2}$.

Ce qui me donne, par exemple, le point : $\left(0,\dfrac{-a+b+c}{2},\dfrac{a-b+2c}{4}\right)$.
kojak a écrit :bonsoir,

Je suis d'accord pour la valeur de $k$ obtenue, mais pas celle de $z$. J'ai $z=\dfrac{a-b+2c}{2}$, que ce soit avec mon calcul qu'avec le tien.
$z=\dfrac{a+c-k}{2}$


Pour l’ordonnée de ton point, je suis d'accord avec toi.
Je n'avais compris que le vecteur de vissage était constant. je pensais que c’était n'importe que vecteur de la droite vectorielle $\R(e_1+e_2)$.
Ben non : un vissage, c'est la composée commutative d'une rotation et d'une translation : tu tournes et tu montes, comme lorsque tu visses avec ton tournevis :wink:
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Re: Vissage

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Bonjour,

Ceci est correct.
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Re: Vissage

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Merci.
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