Je pensais avoir compris la méthode pour le changement de base mais je me rends compte qu'il n'en est rien. Je fais l'exercice par cœur mais je n'ai pas compris.
J'ai des soucis pour "démontrer" la méthode :Dans cet exercice, on travaille sur le corps $\Z/5\Z$. On demande de donner tous les résultats sous forme d'entiers modulo $5$, sans fraction).
Soit $f:(\Z/5\Z)^2\to(\Z/5\Z)^3$ l'application affine dont la matrice dans les repères canoniques de $(\Z/5\Z)^2$ et $(\Z/5\Z)^3$ est égale à :
$$\begin{pmatrix}1&2&1\\0&0&-1\\-1&3&1\\0&0&1\end{pmatrix}$$
Soit $\mathcal{R}$ le repère cartésien de $(\Z/5\Z)^2$ dont l'origine est $(1,1)$ et la base $((1,1);(-1,1))$, et soit $\mathcal{S}$ le repère cartésien de $(\Z/5\Z)^3$ dont l'origine est $(1,0,-1)$ et la base $((0,1,0);(1,0,0);(0,0,-1))$ (on ne demande pas de vérifier que l'on a bien affaire à des bases). Calculez $\Mat_{\mathcal{R},\mathcal{S}}f$, et exprimez $f$ par une formule en coordonnées dans les repères $\mathcal{R}$et $\mathcal{S}$.
Je ne sais plus comment j'étais arrivé à ça et je ne comprends plus le : "Cela donne $Qf(X)$ dans la nouvelle base de $Im(f)$," ni le "donc $Qf(X)=MPY$"On a $X=PY$ dans $(\Z/5\Z)^2$ et $T=QS$ dans $(\Z/5\Z)^3$
$P,Q$ les matrices de passage de la base canonique dans leurs nouvelles bases.
$f(X)=MX=MPX$
Cela donne $Qf(X)$ dans la nouvelle base de $Im(f)$, donc $Qf(X)=MPY$
et $f(Y)=M'Y=Q^{-1}MPY$
$M$ et $M'$ sont les matrices de $f$. $M$ dans la base canonique et $M'$ dans la nouvelle base.
$$M'=Q^{-1}MP$$
"$MX=MPX$" c'est simplement $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ ?