Changement de base et application affine

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paspythagore
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Changement de base et application affine

Message non lu par paspythagore »

Bonjour.
Je pensais avoir compris la méthode pour le changement de base mais je me rends compte qu'il n'en est rien. Je fais l'exercice par cœur mais je n'ai pas compris.
Dans cet exercice, on travaille sur le corps $\Z/5\Z$. On demande de donner tous les résultats sous forme d'entiers modulo $5$, sans fraction).

Soit $f:(\Z/5\Z)^2\to(\Z/5\Z)^3$ l'application affine dont la matrice dans les repères canoniques de $(\Z/5\Z)^2$ et $(\Z/5\Z)^3$ est égale à :

$$\begin{pmatrix}1&2&1\\0&0&-1\\-1&3&1\\0&0&1\end{pmatrix}$$

Soit $\mathcal{R}$ le repère cartésien de $(\Z/5\Z)^2$ dont l'origine est $(1,1)$ et la base $((1,1);(-1,1))$, et soit $\mathcal{S}$ le repère cartésien de $(\Z/5\Z)^3$ dont l'origine est $(1,0,-1)$ et la base $((0,1,0);(1,0,0);(0,0,-1))$ (on ne demande pas de vérifier que l'on a bien affaire à des bases). Calculez $\Mat_{\mathcal{R},\mathcal{S}}f$, et exprimez $f$ par une formule en coordonnées dans les repères $\mathcal{R}$et $\mathcal{S}$.
J'ai des soucis pour "démontrer" la méthode :
On a $X=PY$ dans $(\Z/5\Z)^2$ et $T=QS$ dans $(\Z/5\Z)^3$

$P,Q$ les matrices de passage de la base canonique dans leurs nouvelles bases.

$f(X)=MX=MPX$

Cela donne $Qf(X)$ dans la nouvelle base de $Im(f)$, donc $Qf(X)=MPY$

et $f(Y)=M'Y=Q^{-1}MPY$

$M$ et $M'$ sont les matrices de $f$. $M$ dans la base canonique et $M'$ dans la nouvelle base.

$$M'=Q^{-1}MP$$
Je ne sais plus comment j'étais arrivé à ça et je ne comprends plus le : "Cela donne $Qf(X)$ dans la nouvelle base de $Im(f)$," ni le "donc $Qf(X)=MPY$"

"$MX=MPX$" c'est simplement $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ ?
balf
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Re: changement de base et application affine

Message non lu par balf »

Il y a essentiellement un problème dans les notations. Je pense qu'elles vous sont personnelles, et ne viennent pas directement d'un corrigé ?

Essentiellement, il est très gênant d'appliquer f (l'application) à la matrice-colonne des coordonnées dans une base donnée, puisque ces coordonnées dépendent de la base alors que l'application est intrinsèque. Mieux vaut appeler X, Y,,S, T les matrices-colonnes des coordonnées, M celle de f, exprimées dans les bases canoniques, et X', Y',S',T', M' les matrices correspondantes exprimées dans les nouvelles bases. Je vous indique ci-dessous ce que donne la transformation, étant entendu que T est la matrice-colonne de l'image par f du point dont la matrice-colonne dans la base canonique est X :
On a $X=PY$ dans $(\Z/5\Z)^2$ et $T=QS$ dans $(\Z/5\Z)^3$
$P,Q$ les matrices de passage de la base canonique dans leurs nouvelles bases.
Οn a : X = P X' et T =Q T'.
$f(X)=MX=MPX$
T = M X = M P X'.
Cela donne $Qf(X)$ dans la nouvelle base de $Im(f)$, donc $Qf(X)=MPY$
Cela donne : (T =) Q T' dans la nouvelle base de (Z/5Z)³, donc Q T' = M P X'.
et $f(Y)=M'Y=Q^{-1}MPY$
et T' = M' X' = (Q⁻¹ M P) X'.
D'où :
$$M'=Q^{-1}MP$$
B.A.
paspythagore
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Re: changement de base et application affine

Message non lu par paspythagore »

Merci. J'ai corrigé, je m'excuse pour les fautes de frappe. J'ai un dernier point en lien avec ce sujet que je ne comprends. Je le fais parce que je sais qu'elle est la réponse à cette question mais sans comprendre.
On a une application $f$ qui a $X$ dans le repère de départ (ici canonique) associe $T$ dans le repère d'arrivée.
Les matrices colonnes des coordonnées sont $X$ (resp. $T$) dans la base de départ et $X'$ (resp. $T'$) dans celle d'arrivée.

$X=PX'$ ou $X'=P^{-1}X$

$P$ est la matrice de changement de repère (de l'ancien vers le nouveau) ou
la matrice des vecteurs du nouveau repère disposés en colonnes.

Par exemple si $\mathcal{R_0}$ est le repère canonique de $\R^2$ et que $e'_1=e_1+e_2,e'_2=2e_1+e_2$ et $O'=e_1+O$ :
$P=\begin{pmatrix}1&2&1\\1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

$T=MX=MPX'$ et $T=QT'$ donc $QT'=MPX'$ et comme $T'=M'X'=Q^{-1}MPX'$ on a : $\boxed{M'=Q^{-1}MP}$

Attention : un repère affine est la donnée d'une origine et d'une base $(e_1, \cdots)$ de l'espace vectoriel associé.
Trouver le repère $\mathcal{R'}=(O',e'_1,e'_2)$ de $\mathcal{E}$ caractérisé par la propriété suivante : si $M$ est un point de $\mathcal{E}$ de coordonnées $(x,y)$ dans $\mathcal{R}$, ses coordonnées dans $\mathcal{R'}$ sont $(x-y+3,2x+y-6)$
Il suffit d'inverser la matrice $\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 3 \\
2 & 1 & -6 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) $ pour obtenir $\left(\begin{array}{ccc}
\dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} & 1 \\
\dfrac{-2}{3} & \dfrac{1}{3} & 4 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) $

et répondre à la question : $(O',e'_1,e'_2)=(O+e_1+4e_2,\dfrac{e_1-2e_2}{3},\dfrac{e_1+e_2}{3})$.
Dernière modification par paspythagore le lundi 20 mai 2013, 17:32, modifié 1 fois.
balf
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Re: changement de base et application affine

Message non lu par balf »

C'est cela — hormis quelques confusions dans la rédaction (sur le plan formel, il n'y a pas de problème). Par exemple : dire que les coordonnées d'un point X sont la matrice-colonne X revient à désigner par la même lettre le point et son jeu de coordonnées. Or celles-ci dépendent du repère choisi, et celui-là est intrinsèque (en fait, vu l'espace affine dont il s'agit, on le confond ici avec ses coordonnées dans le repère canonique). Aussi : P et Q sont des matrices de changement de repère, et non de changement de base : un repère pour un espace affine est la donnée d'une origine M₀ et d'une base (e₁, e₂) de l'espace vectoriel associé, ou aussi la donnée des trois points M₀, M₁ = M₀ + e₁, M₂ = M₀ + e₂. Mais je veux bien que vous remplaciez le changement de repère par un changement de vase…

B.A.
paspythagore
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Re: changement de base et application affine

Message non lu par paspythagore »

J'ai du faire une bêtise, éditer au lieu de citer , du coup, il n'y a plus mon message précédent...
paspythagore a écrit :Merci. J'ai corrigé, je m'excuse pour les fautes de frappe. J'ai un dernier point en lien avec ce sujet que je ne comprends. Je le fais parce que je sais qu'elle est la réponse à cette question mais sans comprendre.
On a une application $f$ qui a $X$ dans le repère de départ (ici canonique) associe $T$ dans le repère d'arrivée.
Les matrices colonnes des coordonnées sont $X$ (resp. $T$) dans la base de départ et $X'$ (resp. $T'$) dans celle d'arrivée.

$X=PX'$ ou $X'=P^{-1}X$

$P$ est la matrice de changement de repère (de l'ancien vers le nouveau) ou
la matrice des vecteurs du nouveau repère disposés en colonnes.

Par exemple si $\mathcal{R_0}$ est le repère canonique de $\R^2$ et que $e'_1=e_1+e_2,e'_2=2e_1+e_2$ et $O'=e_1+O$ :
$P=\begin{pmatrix}1&2&1\\1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

$T=MX=MPX'$ et $T=QT'$ donc $QT'=MPX'$ et comme $T'=M'X'=Q^{-1}MPX'$ on a : $\boxed{M'=Q^{-1}MP}$

Attention : un repère affine est la donnée d'une origine et d'une base $(e_1, \cdots)$ de l'espace vectoriel associé.
Trouver le repère $\mathcal{R'}=(O',e'_1,e'_2)$ de $\mathcal{E}$ caractérisé par la propriété suivante : si $M$ est un point de $\mathcal{E}$ de coordonnées $(x,y)$ dans $\mathcal{R}$, ses coordonnées dans $\mathcal{R'}$ sont $(x-y+3,2x+y-6)$
Il suffit d'inverser la matrice $\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 3 \\
2 & 1 & -6 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) $ pour obtenir $\left(\begin{array}{ccc}
\dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} & 1 \\
\dfrac{-2}{3} & \dfrac{1}{3} & 4 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) $

et répondre à la question : $(O',e'_1,e'_2)=(O+e_1+4e_2,\dfrac{e_1-2e_2}{3},\dfrac{e_1+e_2}{3})$.
balf
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Re: changement de base et application affine

Message non lu par balf »

Mais quel est le point qui pose problème ?

B.A.
paspythagore
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Re: changement de base et application affine

Message non lu par paspythagore »

On est dans le cas $X'=P^{-1}X$ ? je ne comprends pas dans quel sens la matrice effectue un changement de base.
kojak
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Re: changement de base et application affine

Message non lu par kojak »

Bonjour,
paspythagore a écrit :On est dans le cas $X'=P^{-1}X$ ?
Car on effectue seulement un changement de repère. Il n'y a pas ici d'application affine.
paspythagore a écrit : je ne comprends pas dans quel sens la matrice effectue un changement de base.
Tu as les nouvelles coordonnées de $M$ dans le repère $R'$ exprimées en fonction des anciennes. Or, on te demande le nouveau repère, ce qui revient à déterminer la matrice $P$ de passage de l'ancien repère au nouveau, matrice formée comme tu l'as dit
la matrice des vecteurs du nouveau repère disposés en colonnes.
j'ajouterais, coordonnées exprimées dans l'ancien repère.

La relation $X = P X'$ est toujours vraie, et ici, toi tu as plutôt en terme matriciel $X'= A X$ : les nouvelles en fonctions des anciennes coordonnées donc $A= P^{-1}$
Pas d'aide par MP.
paspythagore
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Re: changement de base et application affine

Message non lu par paspythagore »

Trouver le repère $\mathcal{R'}=(O',e'_1,e'_2)$ de $\mathcal{E}$ caractérisé par la propriété suivante : si $M$ est un point de $\mathcal{E}$ de coordonnées $(x,y)$ dans $\mathcal{R}$, ses coordonnées dans $\mathcal{R'}$ sont $(x-y+3,2x+y-6)$


$$P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & -6 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$
On a $P^{-1}X=X'$ et on cherche $P$ dans $PX'=X$

Je cherche le lien entre $P$ et la repère canonique $P^{-1}$ et le nouveau repère.
paspythagore
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Re: changement de base et application affine

Message non lu par paspythagore »

Désolé, je crois que j'ai compris...
Trouver le repère $\mathcal{R'}=(O',e'_1,e'_2)$ de $\mathcal{E}$ caractérisé par la propriété suivante : si $M$ est un point de $\mathcal{E}$ de coordonnées $(x,y)$ dans $\mathcal{R}$, ses coordonnées dans $\mathcal{R'}$ sont $(x-y+3,2x+y-6)$


$$P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & -6 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$
Le corrigé donne : on cherche un repère $\mathcal{R'}$ tel que :
$$Mat_{\mathcal{R'},\mathcal{R}}Id_{\mathcal{E}}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & -6 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$
C'est équivalent à $X'=P^{-1}X$

$Mat_{\mathcal{R',\mathcal{R}}$ est la matrice de passage des nouvelles coordonnées aux anciennes $(x,y)$ dans le repère canonique, de $\mathcal{R'}$ à $\mathcal{R}$.
Comme l'image d'un point est lui-même, seules ces coordonnées changent, on utilise l'application identité.

On cherche tel que $X=PX'$ c'est à dire la matrice de passage des anciennes coordonnées $(x,y)$ aux nouvelles.
Le corrigé donne :
$$Mat_{\mathcal{R,\mathcal{R'}}Id_{E}=$\left(\begin{array}{ccc} \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} & 1 \\ \dfrac{-2}{3} & \dfrac{1}{3} & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) $$
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