[ECS] Polynomes
[ECS] Polynomes
Bonjour,
Je suis en difficulté sur un exercice, je ne vois pas du tout par où commencer, le mieux est que je le partage :
On considère un polynôme $$P=(2X-1)^{n}-(-2X+3)^{n}$$
Factoriser P à l'aide de polynômes irréductible de C[X], puis de R[X] (C et R correspondant respectivement à Complexe et Réel, je ne sais pas faire les symboles ;) )
J'ai commencé en énonçant le théorème d'Alembert Gauss: tout polynôme non nul de degré supérieur à A de C[X] admet au moins une racine dans C
Avec ceci on peut factoriser P(X) avec l'expression : $$P(X)=\lambda\prod_{j=1}^{n} (X-\alpha_{j})^r$$ (c'est r indice j)
Mais je ne vois pas comment l'appliquer à $P(X)$ .. Pourriez-vous m'indiquer la marche à suivre s'il vous plait ?
Merci beaucoup!
Et bon week end
Je suis en difficulté sur un exercice, je ne vois pas du tout par où commencer, le mieux est que je le partage :
On considère un polynôme $$P=(2X-1)^{n}-(-2X+3)^{n}$$
Factoriser P à l'aide de polynômes irréductible de C[X], puis de R[X] (C et R correspondant respectivement à Complexe et Réel, je ne sais pas faire les symboles ;) )
J'ai commencé en énonçant le théorème d'Alembert Gauss: tout polynôme non nul de degré supérieur à A de C[X] admet au moins une racine dans C
Avec ceci on peut factoriser P(X) avec l'expression : $$P(X)=\lambda\prod_{j=1}^{n} (X-\alpha_{j})^r$$ (c'est r indice j)
Mais je ne vois pas comment l'appliquer à $P(X)$ .. Pourriez-vous m'indiquer la marche à suivre s'il vous plait ?
Merci beaucoup!
Et bon week end
-
- Modérateur honoraire
- Messages : 6962
- Inscription : mercredi 15 février 2006, 13:18
- Localisation : le havre
- Contact :
Re: (Prepa ECS) Polynomes
Avec un petit coup de $X^n - Y^n = (X-Y)(X^{n-1} + X^{n-2}Y + ... + XY^{n-2} + Y^{n-1})$ ?
C'est factorisé, bon, mais est-ce très sympathique, je n'en sais rien.
Deuxième idée, commencer par des petites valeurs de $n$ et regarder pour une récurrence.
Olivier
PS : a priori \C doit donner $\C$ et \R doit donner $\R$.
C'est factorisé, bon, mais est-ce très sympathique, je n'en sais rien.
Deuxième idée, commencer par des petites valeurs de $n$ et regarder pour une récurrence.
Olivier
PS : a priori \C doit donner $\C$ et \R doit donner $\R$.
A line is a point that went for a walk. Paul Klee.
Par solidarité, pas de MP.
Par solidarité, pas de MP.
Re: (Prepa ECS) Polynomes
Le théorème de D'Alembert-Gauss ne permet pas de trouver les racines. Il garantit seulement leur existence. Il faut mettre (2X – 1)ⁿ en facteur, puis faire un changement de variable homographique pour se ramener à un problème de racines de l'unité dans C.
B.A.
B.A.
Dernière modification par balf le dimanche 26 octobre 2014, 23:51, modifié 1 fois.
-
- Modérateur général
- Messages : 8191
- Inscription : vendredi 06 janvier 2006, 15:32
- Statut actuel : Enseignant
- Localisation : Le Mans
- Contact :
Re: (Prepa ECS) Polynomes
Comme le dit balf (mais le mot homographique n'est pas au programme de ECS), commence par rechercher les racines complexes de P (après tu pourras factoriser) en te ramenant aux racines de l'unité ; pour chaque (ou presque) racine de l'unité tu pourras te ramener à une équation de degré 1.Lilo69 a écrit :Factoriser P à l'aide de polynômes irréductible de C[X], puis de R[X] (C et R correspondant respectivement à Complexe et Réel, je ne sais pas faire les symboles )
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
Re: (Prepa ECS) Polynomes
Merci pour vos réponses,
Nous venons d'entamer le cours sur les racines de polynômes, chercher les racines de P on ne l'a fait qu'avec des puissances connues. Quand je vois puissance n je ne sais pas du tout comment m'y prendre...
Faut-il passer par : /alpha est racine de P si P(/alpha)=0 ? ainsi :
$$(2X-1)^n=(-2X+3)^n$$
$$\dfrac{(2X-1)^n}{(-2X+3)^n}$$
Et ensuite chercher "z" en passant par l'écriture exponentielle d'un nombre complexe ?
Nous venons d'entamer le cours sur les racines de polynômes, chercher les racines de P on ne l'a fait qu'avec des puissances connues. Quand je vois puissance n je ne sais pas du tout comment m'y prendre...
Faut-il passer par : /alpha est racine de P si P(/alpha)=0 ? ainsi :
$$(2X-1)^n=(-2X+3)^n$$
$$\dfrac{(2X-1)^n}{(-2X+3)^n}$$
Et ensuite chercher "z" en passant par l'écriture exponentielle d'un nombre complexe ?
Re: (Prepa ECS) Polynomes
Bonjour,
Tu as le droit d"'écrire ceci sous réserve que ton dénominateur ne soit pas nul, c'est à dire $X\neq \cdots$ mais ce nombre est il racine de $P$ ?
OuiLilo69 a écrit : $$(2X-1)^n=(-2X+3)^n$$
il manque qqque chose non ?Lilo69 a écrit : $$\dfrac{(2X-1)^n}{(-2X+3)^n}$$
Tu as le droit d"'écrire ceci sous réserve que ton dénominateur ne soit pas nul, c'est à dire $X\neq \cdots$ mais ce nombre est il racine de $P$ ?
oui, car tu as une équation du type $Z^n = 1$ que tu dois savoir résoudre.Lilo69 a écrit : Et ensuite chercher "z" en passant par l'écriture exponentielle d'un nombre complexe ?
Pas d'aide par MP.
Re: (Prepa ECS) Polynomes
Je n'arrive pas à grand chose :
$$Z^n=1$$
$$Z= e^{(i 2k\pi/n)$$
Ensuite avec Z= (2X-1)/(-2X+3)
J'arrive à :
$$2X(1+e^{i2k\pi/n)}) = 1 + 3e^{(i2k\pi/n)}$$
(excusez moi pour le LaTex, je n'arrive pas à faire mieux..)
Ensuite j'aurais eu l'idée de passé par les formules des angles moitié mais avec le 3 devant l'exponentielle je suis bloquée..
$$Z^n=1$$
$$Z= e^{(i 2k\pi/n)$$
Ensuite avec Z= (2X-1)/(-2X+3)
J'arrive à :
$$2X(1+e^{i2k\pi/n)}) = 1 + 3e^{(i2k\pi/n)}$$
(excusez moi pour le LaTex, je n'arrive pas à faire mieux..)
Ensuite j'aurais eu l'idée de passé par les formules des angles moitié mais avec le 3 devant l'exponentielle je suis bloquée..
Re: (Prepa ECS) Polynomes
J4ai corrigé légèrement ton code : passe avec la souris dessus afin de voir ce qui a changéLilo69 a écrit : (excusez moi pour le LaTex, je n'arrive pas à faire mieux..)
tu peux le faire déjà au dénominateur et ensuite tu rends algébrique le reste de ce quotient directement, et après tu passes avec les formules es angles moitié. Ça se simplifie bien tout ça.Lilo69 a écrit : Ensuite j'aurais eu l'idée de passé par les formules des angles moitié mais avec le 3 devant l'exponentielle je suis bloquée..
La partie réelle est un nombre très simple, et la partie imaginaire dépend de $k\pi/n$
PS : n'oublie pas de préciser ton $k$ dans quoi il varie.
Pas d'aide par MP.
Re: (Prepa ECS) Polynomes
Alors k varie de 0 à n-1
En faisant ça, j'arrive à :
$$\dfrac{1+3e^{(i2kpi)/n}}{2*e^{(ikpi)/n}*2cos(kpi/n)}$$
Je ne vois pas comment simplifier ...
En faisant ça, j'arrive à :
$$\dfrac{1+3e^{(i2kpi)/n}}{2*e^{(ikpi)/n}*2cos(kpi/n)}$$
Je ne vois pas comment simplifier ...
Re: (Prepa ECS) Polynomes
correct
$\dfrac{1}{e^{ik\pi/n}}$ se transforme, développer le numérateur et écrire parties réelle et imaginaireLilo69 a écrit : Je ne vois pas comment simplifier ...
Pas d'aide par MP.
Re: (Prepa ECS) Polynomes
Alors j'ai séparé en deux et j'obtiens :
$$\dfrac{e^(-ikpi/n)}{4cos(kpi/n)}+\dfrac{3e^(ikpi/n)}{4cos(kpi/n)}$$ (désolée encore pour l'écriture mais ça commence juste à venir.. )
Est-ce juste ? et c'est là que je dois séparer Réel et Imaginaire ? je ne suis pas sûre de bien comprendre..
$$\dfrac{e^(-ikpi/n)}{4cos(kpi/n)}+\dfrac{3e^(ikpi/n)}{4cos(kpi/n)}$$ (désolée encore pour l'écriture mais ça commence juste à venir.. )
Est-ce juste ? et c'est là que je dois séparer Réel et Imaginaire ? je ne suis pas sûre de bien comprendre..
Re: (Prepa ECS) Polynomes
C'est juste, mais inutile de séparer en deux. Il suffit d'appliquer les formules d'Euler et à la fin, de séparer partie réellle et partie imaginaire.
B.A.
B.A.
Re: (Prepa ECS) Polynomes
Oui je ne sais pas pourquoi j'ai séparé, en effet.
Mais avec les formules d'Euler :
$$e^{i\alpha}+e^{-i\alpha} = 2 cos\alpha$$
?
Mais qu'est ce que je fais du 3 ? j'ai tourné dans tous les sens je n'arrive pas à simplifier, ça doit être tout bête en plus...
Mais avec les formules d'Euler :
$$e^{i\alpha}+e^{-i\alpha} = 2 cos\alpha$$
?
Mais qu'est ce que je fais du 3 ? j'ai tourné dans tous les sens je n'arrive pas à simplifier, ça doit être tout bête en plus...
Dernière modification par kojak le mardi 28 octobre 2014, 15:44, modifié 1 fois.
Raison : Mise en forme LaTeX
Raison : Mise en forme LaTeX
Re: (Prepa ECS) Polynomes
Oui et non.Lilo69 a écrit : Mais avec les formules d'Euler :
$$e^{i\alpha}+e^{-i\alpha} = 2 cos\alpha$$
quelle est la définition de $e^{i\alpha}$ ?
Code : Tout sélectionner
$e^{i\alpha}$
En effet, en utilisant la définition de $e^{i \alpha}$Lilo69 a écrit : Mais qu'est ce que je fais du 3 ? j'ai tourné dans tous les sens je n'arrive pas à simplifier, ça doit être tout bête en plus...
Pas d'aide par MP.
Re: (Prepa ECS) Polynomes
Aaahhh !!
En plus je l'avais écrite dans un coin.. Alors en l'utilisant ça me donne :
$$1+itan(k\pi/n)$$
pour k variant de 0 à n-1
Mais alors ceci est une racine de P ? Là j'avoue qu'avec la variation de k et la question initiale je ne m'y retrouve pas...
En plus je l'avais écrite dans un coin.. Alors en l'utilisant ça me donne :
$$1+itan(k\pi/n)$$
pour k variant de 0 à n-1
Mais alors ceci est une racine de P ? Là j'avoue qu'avec la variation de k et la question initiale je ne m'y retrouve pas...
Re: (Prepa ECS) Polynomes
Xcas me donne $1+\dfrac{i}{2}\tan(k\pi/n)$ : tu n'as pas oublié ce $1/2$ par hasard ?
Et mieux que ça : toutes les racines de ton polynôme $P$. D'ailleurs il est de degré combien ? donc dans $\C$ tu as combien de racines ?
Ben pour trouver ceci, tu as résolu quelle équation ?Lilo69 a écrit : Mais alors ceci est une racine de P ?
Et mieux que ça : toutes les racines de ton polynôme $P$. D'ailleurs il est de degré combien ? donc dans $\C$ tu as combien de racines ?
Pas d'aide par MP.
Re: (Prepa ECS) Polynomes
(oui oui j'avais bien le i/2 que j'ai oublié de taper!)
Et voilà la partie du cours qui me pose problème ... Pour moi tout ça est abstrait.. j'essaie :
On a résolu :
$$\dfrac{2X-1}{-2X+3}=e^{(i2k\pi)/n}$$
Après tous les calculs on a :
$$X = 1+\dfrac{i}{2}tan\dfrac{k\pi}{n}$$
Alors déjà ici l'histoire du X comme indéterminée me bloque ...
P est de degré n ? et je ne sais pas comment le lier avec les racines dans $$\C$$ ...
Et voilà la partie du cours qui me pose problème ... Pour moi tout ça est abstrait.. j'essaie :
On a résolu :
$$\dfrac{2X-1}{-2X+3}=e^{(i2k\pi)/n}$$
Après tous les calculs on a :
$$X = 1+\dfrac{i}{2}tan\dfrac{k\pi}{n}$$
Alors déjà ici l'histoire du X comme indéterminée me bloque ...
P est de degré n ? et je ne sais pas comment le lier avec les racines dans $$\C$$ ...
Re: (Prepa ECS) Polynomes
oui mais juste avant, c'était $\left(\dfrac{2X-1}{-2X+3}\right)^n=1$ c'est à dire en faisant le lien avec ton polynôme $P$ ?Lilo69 a écrit : On a résolu :
$\dfrac{2X-1}{-2X+3}=e^{(i2k\pi)/n}$
OuiLilo69 a écrit : Après tous les calculs on a :
$X = 1+\dfrac{i}{2}\tan\dfrac{k\pi}{n}$
Oui mais ici ce n'est pas ton indéterminée mais une racine de ... ?Lilo69 a écrit : Alors déjà ici l'histoire du X comme indéterminée me bloque ...
C'est une question ou la réponse ? et il faut en être sûr sachant qu'ici il faut faire la distinction $n$ pair ou impair. vois tu pourquoi ?Lilo69 a écrit : P est de degré n ?
Une fois qu'on a toutes les racines d'un polynôme dans $\C$, il peut se factoriser comment ce polynôme ?Lilo69 a écrit : et je ne sais pas comment le lier avec les racines dans $\C$
Pas d'aide par MP.
Re: (Prepa ECS) Polynomes
Cela signifie que :
$X = 1+\dfrac{i}{2}\tan\dfrac{k\pi}{n}$ est racine de P
Non je ne vois pas pourquoi on doit distinguer les 2 cas..
D'après l'énoncé on peut dire que P est de degré n, non ?
Et après on utilise le théorème d'Alembert Gauss pour factoriser ? > Tout polynôme non nul de degré supérieur à A de C[X] admet au moins une racine dans C
Avec ceci on peut factoriser P(X) avec l'expression : $$P(X)=\lambda\prod_{j=1}^{n} (X-\[\alpha_{j}\))^r$$ (c'est r indice j)
$X = 1+\dfrac{i}{2}\tan\dfrac{k\pi}{n}$ est racine de P
Non je ne vois pas pourquoi on doit distinguer les 2 cas..
D'après l'énoncé on peut dire que P est de degré n, non ?
Et après on utilise le théorème d'Alembert Gauss pour factoriser ? > Tout polynôme non nul de degré supérieur à A de C[X] admet au moins une racine dans C
Avec ceci on peut factoriser P(X) avec l'expression : $$P(X)=\lambda\prod_{j=1}^{n} (X-\[\alpha_{j}\))^r$$ (c'est r indice j)