[ECS] Polynomes

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Lilo69

[ECS] Polynomes

Message non lu par Lilo69 »

Bonjour,

Je suis en difficulté sur un exercice, je ne vois pas du tout par où commencer, le mieux est que je le partage :

On considère un polynôme $$P=(2X-1)^{n}-(-2X+3)^{n}$$
Factoriser P à l'aide de polynômes irréductible de C[X], puis de R[X] (C et R correspondant respectivement à Complexe et Réel, je ne sais pas faire les symboles ;) )

J'ai commencé en énonçant le théorème d'Alembert Gauss: tout polynôme non nul de degré supérieur à A de C[X] admet au moins une racine dans C
Avec ceci on peut factoriser P(X) avec l'expression : $$P(X)=\lambda\prod_{j=1}^{n} (X-\alpha_{j})^r$$ (c'est r indice j)

Mais je ne vois pas comment l'appliquer à $P(X)$ .. Pourriez-vous m'indiquer la marche à suivre s'il vous plait ?

Merci beaucoup!
Et bon week end
rebouxo
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Message non lu par rebouxo »

Avec un petit coup de $X^n - Y^n = (X-Y)(X^{n-1} + X^{n-2}Y + ... + XY^{n-2} + Y^{n-1})$ ?
C'est factorisé, bon, mais est-ce très sympathique, je n'en sais rien.

Deuxième idée, commencer par des petites valeurs de $n$ et regarder pour une récurrence.

Olivier
PS : a priori \C doit donner $\C$ et \R doit donner $\R$.
A line is a point that went for a walk. Paul Klee.
Par solidarité, pas de MP.
balf
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Message non lu par balf »

Le théorème de D'Alembert-Gauss ne permet pas de trouver les racines. Il garantit seulement leur existence. Il faut mettre (2X – 1)ⁿ en facteur, puis faire un changement de variable homographique pour se ramener à un problème de racines de l'unité dans C.

B.A.
Dernière modification par balf le dimanche 26 octobre 2014, 23:51, modifié 1 fois.
guiguiche
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Message non lu par guiguiche »

Lilo69 a écrit :Factoriser P à l'aide de polynômes irréductible de C[X], puis de R[X] (C et R correspondant respectivement à Complexe et Réel, je ne sais pas faire les symboles ;) )
Comme le dit balf (mais le mot homographique n'est pas au programme de ECS), commence par rechercher les racines complexes de P (après tu pourras factoriser) en te ramenant aux racines de l'unité ; pour chaque (ou presque) racine de l'unité tu pourras te ramener à une équation de degré 1.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
Lilo69

Re: (Prepa ECS) Polynomes

Message non lu par Lilo69 »

Merci pour vos réponses,

Nous venons d'entamer le cours sur les racines de polynômes, chercher les racines de P on ne l'a fait qu'avec des puissances connues. Quand je vois puissance n je ne sais pas du tout comment m'y prendre...
Faut-il passer par : /alpha est racine de P si P(/alpha)=0 ? ainsi :

$$(2X-1)^n=(-2X+3)^n$$

$$\dfrac{(2X-1)^n}{(-2X+3)^n}$$

Et ensuite chercher "z" en passant par l'écriture exponentielle d'un nombre complexe ?
kojak
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Message non lu par kojak »

Bonjour,
Lilo69 a écrit : $$(2X-1)^n=(-2X+3)^n$$
Oui
Lilo69 a écrit : $$\dfrac{(2X-1)^n}{(-2X+3)^n}$$
il manque qqque chose non ?

Tu as le droit d"'écrire ceci sous réserve que ton dénominateur ne soit pas nul, c'est à dire $X\neq \cdots$ mais ce nombre est il racine de $P$ ?
Lilo69 a écrit : Et ensuite chercher "z" en passant par l'écriture exponentielle d'un nombre complexe ?
oui, car tu as une équation du type $Z^n = 1$ que tu dois savoir résoudre.
Pas d'aide par MP.
Lilo69

Re: (Prepa ECS) Polynomes

Message non lu par Lilo69 »

Je n'arrive pas à grand chose :

$$Z^n=1$$
$$Z= e^{(i 2k\pi/n)$$

Ensuite avec Z= (2X-1)/(-2X+3)

J'arrive à :

$$2X(1+e^{i2k\pi/n)}) = 1 + 3e^{(i2k\pi/n)}$$

(excusez moi pour le LaTex, je n'arrive pas à faire mieux..)

Ensuite j'aurais eu l'idée de passé par les formules des angles moitié mais avec le 3 devant l'exponentielle je suis bloquée..
Lilo69

Re: (Prepa ECS) Polynomes

Message non lu par Lilo69 »

Ah oui et X≠3/2 !
kojak
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Message non lu par kojak »

Lilo69 a écrit : (excusez moi pour le LaTex, je n'arrive pas à faire mieux..)
J4ai corrigé légèrement ton code : passe avec la souris dessus afin de voir ce qui a changé
Lilo69 a écrit : Ensuite j'aurais eu l'idée de passé par les formules des angles moitié mais avec le 3 devant l'exponentielle je suis bloquée..
tu peux le faire déjà au dénominateur et ensuite tu rends algébrique le reste de ce quotient directement, et après tu passes avec les formules es angles moitié. Ça se simplifie bien tout ça.

La partie réelle est un nombre très simple, et la partie imaginaire dépend de $k\pi/n$

PS : n'oublie pas de préciser ton $k$ dans quoi il varie.
Pas d'aide par MP.
Lilo69

Re: (Prepa ECS) Polynomes

Message non lu par Lilo69 »

Alors k varie de 0 à n-1

En faisant ça, j'arrive à :

$$\dfrac{1+3e^{(i2kpi)/n}}{2*e^{(ikpi)/n}*2cos(kpi/n)}$$

Je ne vois pas comment simplifier ...
kojak
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Message non lu par kojak »

correct
Lilo69 a écrit : Je ne vois pas comment simplifier ...
$\dfrac{1}{e^{ik\pi/n}}$ se transforme, développer le numérateur et écrire parties réelle et imaginaire
Pas d'aide par MP.
Lilo69

Re: (Prepa ECS) Polynomes

Message non lu par Lilo69 »

Alors j'ai séparé en deux et j'obtiens :

$$\dfrac{e^(-ikpi/n)}{4cos(kpi/n)}+\dfrac{3e^(ikpi/n)}{4cos(kpi/n)}$$ (désolée encore pour l'écriture mais ça commence juste à venir.. ;) )

Est-ce juste ? et c'est là que je dois séparer Réel et Imaginaire ? je ne suis pas sûre de bien comprendre..
balf
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Message non lu par balf »

C'est juste, mais inutile de séparer en deux. Il suffit d'appliquer les formules d'Euler et à la fin, de séparer partie réellle et partie imaginaire.

B.A.
Lilo69

Re: (Prepa ECS) Polynomes

Message non lu par Lilo69 »

Oui je ne sais pas pourquoi j'ai séparé, en effet.

Mais avec les formules d'Euler :
$$e^{i\alpha}+e^{-i\alpha} = 2 cos\alpha$$

?

Mais qu'est ce que je fais du 3 ? j'ai tourné dans tous les sens je n'arrive pas à simplifier, ça doit être tout bête en plus...
Dernière modification par kojak le mardi 28 octobre 2014, 15:44, modifié 1 fois.
Raison : Mise en forme LaTeX
kojak
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Message non lu par kojak »

Lilo69 a écrit : Mais avec les formules d'Euler :
$$e^{i\alpha}+e^{-i\alpha} = 2 cos\alpha$$
Oui et non.

quelle est la définition de $e^{i\alpha}$ ?

Code : Tout sélectionner

 $e^{i\alpha}$
Lilo69 a écrit : Mais qu'est ce que je fais du 3 ? j'ai tourné dans tous les sens je n'arrive pas à simplifier, ça doit être tout bête en plus...
En effet, en utilisant la définition de $e^{i \alpha}$ :wink:
Pas d'aide par MP.
Lilo69

Re: (Prepa ECS) Polynomes

Message non lu par Lilo69 »

Aaahhh !!

En plus je l'avais écrite dans un coin.. Alors en l'utilisant ça me donne :

$$1+itan(k\pi/n)$$

pour k variant de 0 à n-1

Mais alors ceci est une racine de P ? Là j'avoue qu'avec la variation de k et la question initiale je ne m'y retrouve pas...
kojak
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Message non lu par kojak »

Xcas me donne $1+\dfrac{i}{2}\tan(k\pi/n)$ : tu n'as pas oublié ce $1/2$ par hasard ?
Lilo69 a écrit : Mais alors ceci est une racine de P ?
Ben pour trouver ceci, tu as résolu quelle équation ?

Et mieux que ça : toutes les racines de ton polynôme $P$. D'ailleurs il est de degré combien ? donc dans $\C$ tu as combien de racines ?
Pas d'aide par MP.
Lilo69

Re: (Prepa ECS) Polynomes

Message non lu par Lilo69 »

(oui oui j'avais bien le i/2 que j'ai oublié de taper!)

Et voilà la partie du cours qui me pose problème ... ;) Pour moi tout ça est abstrait.. j'essaie :

On a résolu :

$$\dfrac{2X-1}{-2X+3}=e^{(i2k\pi)/n}$$

Après tous les calculs on a :

$$X = 1+\dfrac{i}{2}tan\dfrac{k\pi}{n}$$

Alors déjà ici l'histoire du X comme indéterminée me bloque ...

P est de degré n ? et je ne sais pas comment le lier avec les racines dans $$\C$$ ...
kojak
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Message non lu par kojak »

Lilo69 a écrit : On a résolu :

$\dfrac{2X-1}{-2X+3}=e^{(i2k\pi)/n}$
oui mais juste avant, c'était $\left(\dfrac{2X-1}{-2X+3}\right)^n=1$ c'est à dire en faisant le lien avec ton polynôme $P$ ?
Lilo69 a écrit : Après tous les calculs on a :

$X = 1+\dfrac{i}{2}\tan\dfrac{k\pi}{n}$
Oui
Lilo69 a écrit : Alors déjà ici l'histoire du X comme indéterminée me bloque ...
Oui mais ici ce n'est pas ton indéterminée mais une racine de ... ?
Lilo69 a écrit : P est de degré n ?
C'est une question ou la réponse ? et il faut en être sûr sachant qu'ici il faut faire la distinction $n$ pair ou impair. vois tu pourquoi ?
Lilo69 a écrit : et je ne sais pas comment le lier avec les racines dans $\C$
Une fois qu'on a toutes les racines d'un polynôme dans $\C$, il peut se factoriser comment ce polynôme ?
Pas d'aide par MP.
Lilo69

Re: (Prepa ECS) Polynomes

Message non lu par Lilo69 »

Cela signifie que :

$X = 1+\dfrac{i}{2}\tan\dfrac{k\pi}{n}$ est racine de P


Non je ne vois pas pourquoi on doit distinguer les 2 cas..

D'après l'énoncé on peut dire que P est de degré n, non ?

Et après on utilise le théorème d'Alembert Gauss pour factoriser ? > Tout polynôme non nul de degré supérieur à A de C[X] admet au moins une racine dans C
Avec ceci on peut factoriser P(X) avec l'expression : $$P(X)=\lambda\prod_{j=1}^{n} (X-\[\alpha_{j}\))^r$$ (c'est r indice j)
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