Bonjour,
J'aurais souhaité savoir si mon raisonnement était bon, notamment pour les deux dernières questions:
On considère les espaces vectoriels suivants, munis chacun de deux bases :
- $E = R_{2} [X] $, de bases $B = (1;X;X^2)$ et $B' = (1+X; 1 + X^2; 1 + X + X^2)$
- $F = R_{1}[X] $, de bases $C = (1;X)$ et $C' = (1+X;2X-1)$.
Soit $f : E \to F$ l’application linéaire donnée par la matrice $M =\quad
\begin{pmatrix}
0 & 1 & -1 \\
1 & -2 & 1
\end{pmatrix}$ dans les bases B et C.
1) On désigne M' la matrice de f dans les bases B' et C'.
(a)Donner la matrice P de passage de B à B' et Q de C à C'.
On a:
$P=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}$
Et
$Q=\begin{pmatrix}
1 & -1 \\
-1 & 2
\end{pmatrix}$
(b) Quelle est la relation entre M, P, Q et M' ? Utiliser cette relation pour calculer M'.
On a: $M'=Q^{-1}MP=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}$
2. Soit $E^*$ le dual de $E$ et $(h(1); h(2), h(3))$ la base duale de $B'$.
(a) Pour le polynôme $p = aX² + bX + c$, déterminer les expressions de $h(p)$, $h(p)$ et $h(p)$ en fonction de a, b, c.
On a:
$h_{1}(1+X)=1,\ h_{1}(1+X^2)=0,\ h_{1}(1+X+X^2)=0$
$h_{2}(1+X)=0,\ h_{2}(1+X^2)=1,\ h_{2}(1+X+X^2)=0$
$h_{3}(1+X)=0,\ h_{3}(1+X^2)=0,\ h_{3}(1+X+X^2)=1$
p est tel que:
$p=aX^2+bX+c=u(1+X)+v(1+X^2 )+w(1+X+X^2)$
$p=aX^2+bX+c=(u+v+w)+X(u+w)+X^2 (v+w)$
Soit, il suffit de résoudre le système suivant:
v+w=a
u+w=b
u+v+w=c
D'où l'on a :
$h_1 (p)=c-a$
$h_2 (p)=c-b$
$h_3 (p)=a+b-c$
(b) Soit G l’application qui à tout p de E associe f(p)(1). Montrer que G est un élément de E* et donner ses coordonnées dans la base (h(1),h(2),h(3))
On a :
$M'=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}$
et
$h_1(p)=c-a$
$h_2 (p)=c-b$
$h_3 (p)=a+b-c$
d’où les coordonnées de f(p) dans C’ sont
$M' \begin{pmatrix} h_1(p) & h_2(p) & h_3(p)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} c-a & c-b \end{pmatrix}$
Donc $f(p)=(c-a)(1-X)+(c-b)(2X-1)$ et $f(p(1)=(c-a)(1-1)+(c-b)(2*1-1)=c-b$. $c-b$ est un réel.
On a $E= R_{2}[X]$ et son dual $E^{*}=L(R_{2}[X],R)$ est l’ensemble des applications linéaires de $R_{2}[X]$ sur $R$.
Comme G est linéaire, et que G part de $R_{2}[X]$ sur $R$ (c-d est réel), G appartient à $E^*=L(R_2 [X],R)$.
Applications linéaires et bases duales
Applications linéaires et bases duales
Dernière modification par MB le mardi 24 novembre 2015, 22:10, modifié 3 fois.
Re: Applciations linéaires et bases duales
Bonjour
Serait il possible de modifier comme commencé ton message en mettant les balises adéquates (le dollar) au lieu de tex.
Merci
Serait il possible de modifier comme commencé ton message en mettant les balises adéquates (le dollar) au lieu de tex.
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Pas d'aide par MP.
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