Algèbre Linéaire

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Morgatte
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Algèbre Linéaire

Message par Morgatte »

Bonjour,

Je suis en train de lire le livre de Joseph Grifone "Algèbre Linéaire".
Bien que je comprenne petit à petit les concepts, j'ai du mal à résoudre les problèmes qui y sont présentés.

Je n'arrive déjà pas la question de base qui est :
-----
On note R+\{0}, l'ensemble des nombres Réels strictement positifs. Montrez que les lois ci-dessous confèrent à R+\{0} une structure d'espace vectoriel sur R.

$x \bigoplus y := xy$
$\lambda.x := x^{\lambda }$ (x,y appartenants à R+\{0}, $\lambda$ appartenant à R)

-----

Sachant qu'en page 4 j'ai la définition d'un EV.

A1) $(x+y)+z = x+(y+z)$
A2) $x+y = y+x$
A3) Il existe un élément neutre de E noté OE ou plus simplement 0 tel que x+0E = x
A4) Pour tout x appartenant à E, il existe un élément neutre noté (-x), dit opposé de x, tel que x+(-x) = 0E

B1) $\lambda.(\mu.x) = (\lambda.\mu).x$
B2) $(\lambda+\mu).x = \lambda.x + \mu.x$
B3) $\lambda.(x+y) = \lambda.x + \lambda.y$
B4) $1.x = x$


Merci

balf
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Re: Algèbre Linéaire

Message par balf »

Il suffit de traduire les propriétés qui caractérisent les lois d'espace vectoriel dans ce cas particulier.

Par exemple, l'addition des vecteurs (= nombres réels strictement positifs, ici) sont les propriétés qui caractérisent un loi de groupe commutatif: associativité, commutativité, existence d'un élémennt neutre et, pour chaque élément, existence d'un opposé.
D'abord c'est bien une loi interne, c.-à-d. que la « somme » de deux vecteurs (= réels positifs) est bien un réel positif. Cette « somme » étant simplement le produit des deux réel, cela résulte de la règle des signes.
L'associativité et la commutativité sont bien vérifiées puisqu'elles le sont pour le produit de deux réels, quel que soient leurs signes.
Il y a bien un élément neutre, qui ne peut être que celuii de la multiplication, 1, qui est bien un réel positif. Enfin l'opposé pour la « somme » ne peut évidemment être que l'inverse, qui est bien un réel positif si $x>0$.

La multiplication par un scalaire est simplement l'exponentiation. Prenons l'exemple de la distributivité par rapport à l'addition des scalaires :
$$(\lambda+\mu)\cdot x=x^{\lambda+\mu}=x^\lambda x^\mu=(\lambda\cdot x)(\mu\cdot x)=(\lambda\cdot x)\oplus(\mu\cdot x).$$

B. A.

Morgatte
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Re: Algèbre Linéaire

Message par Morgatte »

Je pense avoir compris le principe, c'était pas intuitif.

B3) $\lambda.(x+y) = \textcircled{\textcolor{blue}{2}} (x+y)^{\lambda} = \textcircled{\textcolor{blue}{1}} (xy)^{\lambda} = x^{\lambda}.y^{\lambda} = \textcircled{\textcolor{blue}{2}} \lambda x.\lambda y = \textcircled{\textcolor{blue}{1}} \lambda.x \bigoplus \lambda.y = \lambda.x + \lambda.y $

J'ai plus le temps ce soir pour les autres j'essaierai demain, merci.

La somme directe a-t-elle ici une quelconque influence ?

balf
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Re: Algèbre Linéaire

Message par balf »

C'est bien ça.

La somme directe n'a rien à voir. L'énoncé a pris cette notation pour ne pas prendre la notation additive habituelle, qui pourrait être source de confusion. L'exercice, en soi n'est pas spécialement difficile, mais il requiert pas mal de concentration pour bien interpréter les calculs.

B. A.

Morgatte
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Re: Algèbre Linéaire

Message par Morgatte »

J'ai enfin eu un peu de temps poursuivre ce post :

Pouvez-vous me dire si ce que j'écris est ou non correcte et/ou incomplet ?
En particulier j'ai des doutes à propos de mes points A1 à A4, je ne suis pas certain qu'ils démontrent quoique ce soit. Merci.

A1) $(x+y)+z = xy+z = xyz =x+(y+z) =x+(y+z)$
A2) $x+y = xy = yx = y+x$
A3) $x = (1+0)x = 1x+0x$ donc $ x+0=x$ ou $x+0E=x$
A4) $0E = 0.x = (1+(-1))x = x^{(1+(-1))} = x^{1}.x^{-1} = 1.x+(-1).x = x+(-x)$

B1) $\lambda.(\mu.x) = (\mu.x)^{\lambda} = (x^{\mu})^{\lambda} = x^{\mu\lambda} = x^{\lambda\mu} = x^{(\lambda\mu)} = (\lambda.\mu).x} $
B2) $(\lambda+\mu).x = x^{(\lambda+\mu)} = x^{\lambda}.x^{\mu} = \lambda.x*\mu.x = \lambda.x \oplus \mu.x $
B3) $\lambda.(x+y) = \textcircled{\textcolor{blue}{2}} (x+y)^{\lambda} = \textcircled{\textcolor{blue}{1}} (xy)^{\lambda} = x^{\lambda}.y^{\lambda} = \textcircled{\textcolor{blue}{2}} \lambda x.\lambda y = \textcircled{\textcolor{blue}{1}} \lambda.x \oplus \lambda.y = \lambda.x + \lambda.y $
B4 $1.x = x^{1} = x$

balf
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Re: Algèbre Linéaire

Message par balf »

Seuls A et A4 posent problème. Quant à A1 et A2, on pourrait se contenter de dire que commutativité et associativité sont vérifiées parce qu'elles le sont pour la multiplication ordinaire.

L'élément neutre de l'« addition » n'est autre que l'élément neutre de la multiplication et évidemment, l'« opposé » d'un nombre réel positif est son inverse.

B. A.

Morgatte
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Re: Algèbre Linéaire

Message par Morgatte »

Ok Merci.

Toujours, dans cette même page, un autre exercice dit que la définition générale A2 peut être déduite des autres propositions, ca fait un moment que j'y réfléchi mais je ne vois pas.
J'ai essayé des choses à partir de la proposition A1 mais j'échoue. Est-ce que vous pourriez me donner les n° de propositions comme indice ?

Morgatte
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Re: Algèbre Linéaire

Message par Morgatte »

A1) $(x+y)+z = x+(y+z)$
pour $ z=x$ alors $(x+y)+x = x+(y+x) => x+y = y+x$

Est-ce suffisant (j'imagine que oui) ou bien faut-il détailler le fait de supprimer x des 2 côtés ?

balf
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Re: Algèbre Linéaire

Message par balf »

Si ce n'est pas supposé commutatif, il faudrait justifier, en effet.

B. A.