Décomposition des noyaux et projecteurs

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau supérieur au baccalauréat.

Modérateur : gdm_sco

Règles du forum
Merci de soigner la rédaction de vos messages et de consulter ce sujet avant de poster. Pensez également à utiliser la fonction recherche du forum.
MB
Administrateur
Administrateur
Messages : 7183
Inscription : samedi 28 mai 2005, 14:23
Statut actuel : Enseignant

Décomposition des noyaux et projecteurs

Message par MB »

Bonjour, si $f$ est un endomorphisme de $E$, $P$ et $Q$ deux polynômes premiers entre eux, alors on sait que le théorème de décomposition des noyaux assure que.

$$ \ker (PQ)(f) = \ker P(f) \oplus \ker Q(f) $$

L'objectif est de prouver que le projecteur de $\ker (PQ)(f)$ sur $\ker P(f)$ parallèlement à $\ker Q(f)$ est un polynôme de $f$. Voici une méthode trouvée dans un ouvrage.

Il existe deux polynômes $U$ et $V$ tels que $UP+VQ=1$ et donc $(UP)(f)+(VQ)(f) = Id$. On pose $p = (VQ)(f)$ et on prouve que $p$ correspond au projecteur recherché.

Si $x \in \ker P(f)$, alors $x = (UP)(f)(x)+(VQ)(f)(x) = 0+p(x) = p(x)$.

La méthode que j'utiliserais personnellement serait de considérer $x \in \ker Q(f)$ afin d'obtenir immédiatement $p(x) = 0$ et donc d'après moi de prouver que $p$ correspond bien au projecteur recherché.

Dans l'ouvrage, on considère plutôt $y$ dans l'image de $P(f)$, c'est à dire $y = P(f)(x)$ avec $x \in \ker (PQ)(f)$ et on obtient que $p(y) = (VPQ)(f)(x) = 0$ pour conclure que $p$ est bien le projecteur recherché. Je ne comprends pas pourquoi considérer ce $y$ plutôt que $x \in \ker Q(f)$.
MB (Pas d'aide en Message Privé)
Merci d'utiliser MathJax (voir ici) et d'éviter le style SMS pour la lisibilité des messages.

guiguiche
Modérateur global
Modérateur global
Messages : 8086
Inscription : vendredi 06 janvier 2006, 15:32
Statut actuel : Enseignant
Localisation : Le Mans

Re: Décomposition des noyaux et projecteurs

Message par guiguiche »

Dans ton ouvrage, la décomposition en somme directe initiale est-elle utilisée telle quelle ?
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.

MB
Administrateur
Administrateur
Messages : 7183
Inscription : samedi 28 mai 2005, 14:23
Statut actuel : Enseignant

Re: Décomposition des noyaux et projecteurs

Message par MB »

Elle a déjà été prouvée, la suite de la démonstration consistant à justifier que les projecteurs associés à cette décomposition sont des polynômes de $f$.

[Edit] Voici une copie.

[attachment=0]img.jpg[/attachment]
Vous ne pouvez pas consulter les pièces jointes insérées à ce message.
MB (Pas d'aide en Message Privé)
Merci d'utiliser MathJax (voir ici) et d'éviter le style SMS pour la lisibilité des messages.

guiguiche
Modérateur global
Modérateur global
Messages : 8086
Inscription : vendredi 06 janvier 2006, 15:32
Statut actuel : Enseignant
Localisation : Le Mans

Re: Décomposition des noyaux et projecteurs

Message par guiguiche »

Je ne vois donc pas l'intérêt de procéder ainsi car, en plus, l'auteur ne prouve pas que Ker Q(f) = Im P(f).
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.

MB
Administrateur
Administrateur
Messages : 7183
Inscription : samedi 28 mai 2005, 14:23
Statut actuel : Enseignant

Re: Décomposition des noyaux et projecteurs

Message par MB »

Tu confirmes donc l'étrangeté de la méthode. On aurait ça ?

$$ \ker (PQ)(f) = \ker P(f) \oplus \mathop{\text{im}} P(f) $$
MB (Pas d'aide en Message Privé)
Merci d'utiliser MathJax (voir ici) et d'éviter le style SMS pour la lisibilité des messages.

guiguiche
Modérateur global
Modérateur global
Messages : 8086
Inscription : vendredi 06 janvier 2006, 15:32
Statut actuel : Enseignant
Localisation : Le Mans

Re: Décomposition des noyaux et projecteurs

Message par guiguiche »

La méthode proposée n'est pas complète car il y a bien égalité entre Im P(f) et Ker Q(f) (du moins j'en suis presque certain sans le vérifier).
J'ai quand même un doute sur ta méthode car j'ai l'impression que tu confonds PQ et PoQ à un moment (vu de loin sans réflexion approfondie).
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.

MB
Administrateur
Administrateur
Messages : 7183
Inscription : samedi 28 mai 2005, 14:23
Statut actuel : Enseignant

Re: Décomposition des noyaux et projecteurs

Message par MB »

Des doutes pour affirmer que si $x \in \ker Q(f)$ alors $p(x) = 0$ ?

$$ p(x) = (VQ)(f)(x) = V(f) \circ Q(f)(x) = V(f)(Q(f)(x)) = V(f)(0) = 0 $$

Il me semble que je n'ai rien fait d'autre que ça.

[Edit] Vérification que Ker Q(f) est bien égal à Im P(f).

Si $y = P(f)(x)$ avec $x \in \ker (PQ)(f)$, alors $Q(f)(y) = (PQ)(f)(x) = 0$ donc $y \in \ker Q(f)$.

Réciproquement, si $y \in \ker Q(f)$, alors $y = (UP)(f)(y)+(VQ)(f)(y) = (UP)(f)(y) = P(f)(U(f)(y)) = P(f)(x)$ avec $x = U(f)(y)$.
De plus, on a bien $x \in \ker (PQ)(f)$ car $(PQ)(f)(x) = (VPQ)(f)(y) = 0$ puisque $y \in \ker Q(f)$.

Peut être que c'était évident mais bon ... En tout cas ça semble fonctionner.
MB (Pas d'aide en Message Privé)
Merci d'utiliser MathJax (voir ici) et d'éviter le style SMS pour la lisibilité des messages.

guiguiche
Modérateur global
Modérateur global
Messages : 8086
Inscription : vendredi 06 janvier 2006, 15:32
Statut actuel : Enseignant
Localisation : Le Mans

Re: Décomposition des noyaux et projecteurs

Message par guiguiche »

Tu as le théorème du rang qui achève la réciproque si tu es en dimension finie.
Je n'ai peut-être pas bien fait attention pour ton premier calcul.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.

MB
Administrateur
Administrateur
Messages : 7183
Inscription : samedi 28 mai 2005, 14:23
Statut actuel : Enseignant

Re: Décomposition des noyaux et projecteurs

Message par MB »

guiguiche a écrit :Tu as le théorème du rang qui achève la réciproque si tu es en dimension finie.
Oui, à priori la dimension peut être infinie.
guiguiche a écrit :Je n'ai peut-être pas bien fait attention pour ton premier calcul.
Au final on peut considérer $x \in \ker Q(f)$ au lieu de $x \in \mathop{\text{im}} P(f)$ ?

Ca me semble non seulement plus logique (puisqu'on veut justifier que la projection est parallèle à Ker Q(f)) et plus simple également. Si il n'y a pas d'erreur dans ce que j'ai fait, j'ai du mal à comprendre pourquoi l'auteur ne procède pas ainsi. Il doit y avoir un truc qui m'échappe.
MB (Pas d'aide en Message Privé)
Merci d'utiliser MathJax (voir ici) et d'éviter le style SMS pour la lisibilité des messages.