Inégalité polynomiale

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau supérieur au baccalauréat.
[participation réservée aux membres inscrits]
Règles du forum
Merci de soigner la rédaction de vos messages et de consulter ce sujet avant de poster. Pensez également à utiliser la fonction recherche du forum.
MB
Administrateur
Administrateur
Messages : 7512
Inscription : samedi 28 mai 2005, 14:23
Statut actuel : Enseignant

Inégalité polynomiale

Message non lu par MB »

Voici le petit exercice suivant.
Soit $P \in \R[X]$ un polynôme scindé de degré $n \geq 1$.
1) Montrer que $(n-1)(P')^2 \geq nPP''$.
2) Étudier les cas d'égalité.
Je pense avoir une solution basée sur l'expression de $\frac{P'}{P}$ et de sa dérivée $\frac{PP''-(P')^2}{P^2}$, puis via Cauchy-Schwartz.
Peut-être qu'il y a mieux.
MB. (rejoignez pCloud afin d'obtenir 10Go de stockage en ligne gratuits)
Pas d'aide en message privé. Merci de consulter ce sujet avant de poster votre premier message.
OG
Modérateur spécialisé
Modérateur spécialisé
Messages : 2293
Inscription : lundi 12 mars 2007, 11:20
Localisation : Rouen

Re: Inégalité polynomiale

Message non lu par OG »

Hello

J'ai regardé et ce que j'ai trouvé doit revenir au même (Cauchy-Schwarz inside), en partant
de
$$
P'= P \times \sum \frac{1}{X-a_k}
$$
dérivant, etc.

O.G.
MB
Administrateur
Administrateur
Messages : 7512
Inscription : samedi 28 mai 2005, 14:23
Statut actuel : Enseignant

Re: Inégalité polynomiale

Message non lu par MB »

Merci. Je suppose donc que c'est la méthode la plus naturelle.
MB. (rejoignez pCloud afin d'obtenir 10Go de stockage en ligne gratuits)
Pas d'aide en message privé. Merci de consulter ce sujet avant de poster votre premier message.
OG
Modérateur spécialisé
Modérateur spécialisé
Messages : 2293
Inscription : lundi 12 mars 2007, 11:20
Localisation : Rouen

Re: Inégalité polynomiale

Message non lu par OG »

J'avoue que je ne sais pas si c'est la méthode la plus naturelle. Je ne connaissais pas cet exo (qui doit être classique) et le côté "scindé" pousse à utiliser $P'/P$.

O.G.
MB
Administrateur
Administrateur
Messages : 7512
Inscription : samedi 28 mai 2005, 14:23
Statut actuel : Enseignant

Re: Inégalité polynomiale

Message non lu par MB »

Je ne sais pas si il est classique, je ne l'ai même pas trouvé dans les bouquins dont je dispose. D'ailleurs si quelqu'un a une référence dans laquelle il figure ...
MB. (rejoignez pCloud afin d'obtenir 10Go de stockage en ligne gratuits)
Pas d'aide en message privé. Merci de consulter ce sujet avant de poster votre premier message.
guiguiche
Modérateur général
Modérateur général
Messages : 8125
Inscription : vendredi 06 janvier 2006, 15:32
Statut actuel : Enseignant
Localisation : Le Mans

Re: Inégalité polynomiale

Message non lu par guiguiche »

En lien avec les polynômes de Hermite comme dans ce sujet : ESSEC 2002 S.
Pièces jointes
essec_2002_S_1.pdf
(73.37 Kio) Téléchargé 134 fois
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.