Probabilités

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau supérieur au baccalauréat.

Modérateur : gdm_sco

Règles du forum
Merci de soigner la rédaction de vos messages et de consulter ce sujet avant de poster. Pensez également à utiliser la fonction recherche du forum.
Lolipop
Utilisateur débutant
Utilisateur débutant
Messages : 1
Inscription : mercredi 23 mai 2018, 15:23

Probabilités

Message par Lolipop »

Bonjour,

J’aimerai un peu d’aide pour cet exercice :
Soit X et Y deux var aléatoires à densité indépendantes de même loi uniforme sur [0;1].
Z=X+Y

Comment montrer que P(X<=Y)=P(Y<=X) ? Et comment montrer que 1-Y et Y ont la même loi ?

Merci d’avance

balf
Utilisateur chevronné
Utilisateur chevronné
Messages : 3964
Inscription : mercredi 02 janvier 2008, 23:18

Re: Probabilités

Message par balf »

Eh bien, en calculant: puisque les densités de $X$ et $Y$ sont égales à 1, on a
$$\begin{array}{l}
\displaystyle P(X\leqslant Y)=\int_0^1\Bigl(\int_0^y 1\,\mathrm dx\Bigr)\mathrm dy.\\[2ex]
\displaystyle P(Y\leqslant X)=\int_0^1\Bigl(\int_y^1 1\,\mathrm dx\Bigr)\mathrm dy.
\end{array} $$ Pour l'autre question, remarquer simplement que
$$P(1-Y\le t)=P(Y\ge 1-t)=1-P(Y<1-t).$$
Bernard
Dernière modification par balf le vendredi 22 juin 2018, 16:56, modifié 1 fois.

Arthur Accroc
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 131
Inscription : lundi 17 octobre 2005, 20:33

Re: Probabilités

Message par Arthur Accroc »

balf a écrit :Pour l'autre question, remarquer simplement que
$$P(1-Y\le t)=P(Y\ge 1-t)=1-P(Y<t).$$
Bernard
Tu veux dire
$$P(1-Y\le t)=P(Y\ge 1-t)=1-P(Y<\mathbf{1-t})=1-(1-t) = t = P(Y<t)$$
\bye

Arthur Accroc

balf
Utilisateur chevronné
Utilisateur chevronné
Messages : 3964
Inscription : mercredi 02 janvier 2008, 23:18

Re: Probabilités

Message par balf »

Arthur Accroc a écrit : Tu veux dire
$$P(1-Y\le t)=P(Y\ge 1-t)=1-P(Y<\mathbf{1-t})=1-(1-t) = t = P(Y<t)$$
Oui, bien sûr. On ne se relit jamais assez ! Merci d'avoir relevé cette coquille, c'est rectifié.

B. A.