Convergence d'une série

[othiprof]

Bonjour à tous,
en supposant la suite $(u_n)$ positive et la série $\sum n^2 u_n^2$ convergente, comment prouver que $\sum u_n$ converge ?
Merci!

[OG]

Il y a des critères, peut-être que l'un s'applique ?

[othiprof]

$0 \le u_n=\sqrt{u_n^2} \le \sqrt{n^2 u_n^2} \le n^2 u_n^2$
Or la série de terme général $n^2 u_n^2$ converge donc, par comparaison des séries à termes positifs, $\sum u_n$ converge.
Pourrait convenir il me semble bien...
Je ne saurais comment vous remercier.

[OG]

Non, l'inégalite $\sqrt{a}\leq a$ est fausse pour $0<a<1$ et c'est ce cas qui intéresse.
Il y a d'autres critères, il faut chercher...
(il y a aussi une autre façon avec une inégalité standard)

O.G.

[balf]

Puisque la série est à termes positifs, on peut en récrire le terme général
$$u_n=\sqrt{n^2u_n^2\cdot\frac1{n^2}$$ et utiliser l'inégalité moyenne géométrique-moyenne arithmétique.

B. A.

[othiprof]

Inégalité standard : $\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}$ .

D'où : $u_n=\sqrt{n^2 u_n^2 \frac{1}{n^2}} \le \frac{n^2 u_n^2+\frac{1}{n^2}}{2}$ .

Les séries de termes généraux $n^2 u_n^2$ et $\frac{1}{n^2}$ étant convergentes toutes les deux, la série de terme général $\frac{1}{2}(n^2u_n^2+\frac{1}{n^2})$ est elle-même convergente.
Enfin, par une propriété de comparaison des séries à termes positifs, la série $\sum u_n$ converge.
J'espère n'avoir pas fait d'erreur, cette fois.
Merci beaucoup.
OL

[balf]

C'est exactement ça.
B. A.

[othiprof]

ouf, merci!