Théorème d'Ostrowski

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau supérieur au baccalauréat.
[participation réservée aux membres inscrits]
Règles du forum
Merci de soigner la rédaction de vos messages et de consulter ce sujet avant de poster. Pensez également à utiliser la fonction recherche du forum.
othiprof

Théorème d'Ostrowski

Message non lu par othiprof »

Bonjour...
je suis à la recherche d'une démonstration...

Soit $A=[a_{i,j}] $ et soit $\displaystyle L_i=\sum_{j=1, j \ne i}^{n} {\mid a_{ij} \mid}$ et $\displaystyle C_j=\sum_{i=1, i \ne j}^{n} {\mid a_{ij} \mid}$.

Si $\lambda$ est valeur propre de $A$, alors, pour tout $\alpha$ de [0 , 1], il existe $i$ de $\{ 1, ..., n\}$ tel que :

$\displaystyle \mid \lambda - a_{i,i} \mid \le L_i^\alpha C_i^{1-\alpha}$

Sachant que d'après Gerschgörin et Hadamard, il existe $i$ de $\{ 1, ..., n\}$ tel que :

$\displaystyle \mid \lambda - a_{i,i} \mid \le L_i$ et $\displaystyle \mid \lambda - a_{i,i} \mid \le C_i$

Quelqu'un pourrait-il me venir en aide ?
othiprof

Re: Théorème d'Ostrowski

Message non lu par othiprof »

Il semblerait que ce soit plus simple que ce que je pensais...
En utilisant la propriété suivante : Si $x \ge 0$, $a \ge 0$, $b \ge 0$, $0 \le \alpha \le 1$, alors :
($x \le a$ et $x \le b$) $\Rightarrow$ ($x \le a^\alpha b^{1-\alpha }$),
par croissance des fonctions $x \mapsto x^\alpha$ et $x \mapsto x^{1 -\alpha}$ puis par produit des inégalités terme à terme...
Si quelqu'un peut me confirmer... je suis preneuse!
Sinon, bonne soirée, bonne journée, à tous.
OG
Modérateur spécialisé
Modérateur spécialisé
Messages : 2293
Inscription : lundi 12 mars 2007, 11:20
Localisation : Rouen

Re: Théorème d'Ostrowski

Message non lu par OG »

Bonjour

C'est un peu moins simple. Par Gerschgörin et Hadamard les deux indices selon ligne ou selon colonne ne sont pas
nécessairement égaux. Ce n'est donc pas une conséquence immédiate.
Il y a une preuve dans le livre de Rombaldi, il faut (pour $\lambda=0$) repartir sur les équations vérifiées par le vecteur propre et utiliser Hölder.

(j'avoue que je ne connaissais pas ce théorème)

O.G.
othiprof

Re: Théorème d'Ostrowski

Message non lu par othiprof »

Merci de ne pas m'avoir laissée avec mon erreur!
Oui, Rombaldi... je vais me le procurer.
Bonne soirée et encore merci.
OL
OG
Modérateur spécialisé
Modérateur spécialisé
Messages : 2293
Inscription : lundi 12 mars 2007, 11:20
Localisation : Rouen

Re: Théorème d'Ostrowski

Message non lu par OG »

Les quelques pages disponibles sur Google permettent de comprendre la preuve.
(en attendant d'avoir le livre)

O.G.