Groupe des automorphimes, groupe des applications affines

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ArthuroG
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Groupe des automorphimes, groupe des applications affines

Message par ArthuroG »

Bonjour,

je suis en train de revoir ces deux groupes et j'ai un petit doute sur ce qu'ils représentent. Si j'écris :

$GL(E)=\{f:E\to E\,tq. f\in L(E)\cap S(E)\}$


avec $L(E)$ l'ensemble des endomorphismes de $E$ et $S(E)$ celui des permutations de $E$, est-ce exact ? Puis-je écrire qu'en fait $GL(E)=L(E)\cap S(E)$ ?

De façon "symétrique", puis-je écrire que :

$GA(\mathcal{E})=\{f:\mathcal{E}\to \mathcal{E}\,tq. f\in Aff(\mathcal{E})\cap Bij(\mathcal{E})\}$


avec $Aff(E)$ l'ensemble des applications affines de $\mathcal{E}$ et $Bij(\mathcal{E})$ celui des bijections de $\mathcal{E}$, est-ce correct ?

Merci de l'aide !
guiguiche
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Re: Groupe des automorphimes, groupe des applications affine

Message par guiguiche »

Habituellement, GL(E) désigne le groupe des endomorphismes bijectifs de E, c'est-à-dire les automorphismes de E.
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Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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ArthuroG
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Re: Groupe des automorphimes, groupe des applications affine

Message par ArthuroG »

Oui, donc une application $f$ est dans le groupe linéaire $GL(E)$ si elle est un endomorphisme, donc $f\in L(E)$, et si elle est bijective, donc $f\in S(E)$.

A moins qu'il faille faire la différence entre l'ensemble $S(E)$ des permutations de l'ensemble $E$ et l'ensemble $Bij(E)$ des bijections de $E$ ?
guiguiche
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Re: Groupe des automorphimes, groupe des applications affine

Message par guiguiche »

Dans mon inconscient, E désigne un espace vectoriel réel (mon quotidien) donc il ne me vient pas à l'esprit de parler de permutations de E.
Ton ensemble E désigne un groupe fini ?
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Re: Groupe des automorphimes, groupe des applications affine

Message par ArthuroG »

Oui, E est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel. En fait, comme une permutation est une bijection, je pensais qu'on pouvait indistinctement utiliser les mots. Mais je crois comprendre après votre message que :

- Une permutation est un mot employé dans le cas des groupes ;
- Une bijection, dans celui des espaces vectoriels.

Est-ce le cas ?

Peut-être vaut-il mieux écrire alors $GL(E)=\{f\in L(E)\,tq\,f\in Bij(E)\}$ ?
guiguiche
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Re: Groupe des automorphimes, groupe des applications affine

Message par guiguiche »

Je n'ai pas le souvenir d'avoir employé le mot permutation autrement que dans le cas d'un ensemble fini mais mes études remontent un peu dans le temps et je suis loin d'utiliser régulièrement certaines notions vues autrefois.
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Re: Groupe des automorphimes, groupe des applications affine

Message par ArthuroG »

Ca marche !
Je dois montrer que le groupe linéaire GL(E) est un groupe. Donc je me suis dis qu'il serait mieux de montrer que c'est un sous-groupe du groupe des bijections. Pouvez-vous m'aider ?
guiguiche
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Re: Groupe des automorphimes, groupe des applications affine

Message par guiguiche »

Selon toi, ce serait un groupe pour quelle opération ?
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Re: Groupe des automorphimes, groupe des applications affine

Message par ArthuroG »

Bonjour,

je dirais qu'il faut montrer que l'ensemble $GL(E)$ des automorphismes est un sous-groupe du groupe $(Bij(E),\circ)$, donc pour la loi de composition des applications.
Pour cela, je dois montrer que :
i) Cet ensemble est une partie non vide du groupe des bijections
ii) Cet ensemble est stable par composition avec le symétrique

-

Pour le premier point, une application $f$ est un automorphisme si c'est un endomorphisme et si c'est une bijection. En particulier, tout automorphisme est une bijection. Donc on a bien $GL(E)\subset Bij(E)$.

Par ailleurs, l'application identité $Id_E$ est un endomorphisme bijectif, donc l'ensemble des automorphismes n'est pas vide.

Enfin, je dois montrer que si $f,g$ sont deux automorphismes alors $f\circ g^{-1}$ est encore un automorphisme. Je dois donc montrer que $f\circ g^{-1}$ est un endomorphisme et est une bijection.

Est-ce le bon raisonnement ?
guiguiche
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Re: Groupe des automorphimes, groupe des applications affine

Message par guiguiche »

Oui, c'est bien. Et comment conclus-tu ?
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Re: Groupe des automorphimes, groupe des applications affine

Message par ArthuroG »

Bonjour,

je poursuis en disant que si $g$ est un automorphisme, alors c'est une bijection et un endomorphisme.

Puisque $g$ une bijection, alors l'application $g^{-1}$ existe et est une bijection.

Puisque $g$ est un endomorphisme, alors c'est une application linéaire de $E$ vers $E$. Mais alors $g^{-1}$ est aussi linéaire de $E$ vers $E$. (c'est le point sur lequel j'hésite!)

Ainsi, $g^{-1}$ est un automorphisme.

Pour conclure :
- $f\circ g^{-1}$ est la composée de deux bijections, donc est une bijection ;
- $f\circ g^{-1}$ est la composée de deux endomorphismes, donc est un endomorphisme.

D'où $f\circ g^{-1}\in GL(E)$.
guiguiche
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Re: Groupe des automorphimes, groupe des applications affine

Message par guiguiche »

Oui, la réciproque d'une application linéaire bijective est une application linéaire bijective.
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Re: Groupe des automorphimes, groupe des applications affine

Message par ArthuroG »

Merci !