Vitesses et numération

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau supérieur au baccalauréat.

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CyndiSld
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Vitesses et numération

Message par CyndiSld »

Bonjour, j'ai un DM à rendre pour le 4 mais, et je bloque complètement… J'ai réussi à résoudre quelques questions, mais je bloque pour d'autres… Pouvez-vous m'aider svp?
En gras et rouge, ce sont les questions que j'ai réussi à faire.

I) Vitesses
Arthur court du point A vers le point C à la vitesse de 10 km/h. Corentin part au même instant du point C vers le point A à la vitesse de 12 km/h. La distance AC est de 4 km.
1. Calculez le temps mis par Arthur pour arriver en C et le temps mis par Corentin pour arriver en A
2. Soit t l’instant (en heures) où Arthur et Corentin se rencontrent entre A et C et B le point de rencontre. En résolvant une équation caractérisant t montrez que Arthur et Corentin se rencontrent au bout de 11 minutes environ.
3. Au lieu de continuer leur chemin après leur rencontre au point B, On considère cette fois que Arthur repart vers A et Corentin repart vers C. Qui arrive le premier à son point de départ ?²

II) Numération
1. Ecrivez en base dix le nombre qui s'écrit (2104)5 en base cinq.
2. Prouvez qu'un nombre écrit avec deux chiffres égaux en base cinq, c'est-à-dire de la forme (aa)5, est toujours un multiple de 6.


III) Numération
Un nombre N s'écrit (abc)7 en base 7.
1. Quelles sont les valeurs possibles pour les chiffres a,b,c ?
2. A partir de la définition de la numération en base 7, écrivez l'équation qui relie N, a,b et c
3. Supposons que les trois chiffres de l'écriture en base 7 de N soient égaux : N=(aaa)7.
Démontrez que N est un multiple de 57.
Dernière modification par MB le mercredi 29 avril 2020, 23:18, modifié 1 fois.

kojak
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Re: Mathématiques, Niveau Supérieur

Message par kojak »

Bonjour

Quel niveau plus précisément en supérieur stp ?

Et pas besoin d'écrire en gras et rouge stp, ça fait mal à mes petits yeux.

Pour les vitesses :
Que signifie une vitesse de 10km/h ? en 1h, il parcourt combien de km ? donc pendant un temps $t_1$ Arthur parcourt quelle distance $d_1$ ? idem pour Corentin en distance $d_2$ durant un temps $t_2$ ?
Que vaut la somme de ces 2 distances ? quelle relation entre ces 2 temps $t_1$ et $t_2$ ?


La numération : en base 7 , tu as droit à quel chiffre a, b, ou c ?

Que signifie l'écriture aaa en base 7 ? tu as bien réussi à faire celui avec aa en base 5, non ? Là c'est pareil.

A suivre
Pas d'aide par MP.

balf
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Re: Mathématiques, Niveau Supérieur

Message par balf »

Je crois bien me rappeler que la question I 2) était une question de fin de primaire lorsque j'y étais (le problème des trains qui se croisent) — évidemment sans les notations littérales…

Bref, si l'on utilise que le temps mis pour parcourir une certaine distance à une vitesse donnée n'est autre que la distance divisée par la vitesse, et que la somme des distances parcourues par ce salaud d'Arthur (disons $d$) et par Corentin est de 4km, on obtient la proportion $$ \frac d{10}=\frac{4-d}{12} $$ et d'après une propriété élémentaire des proportions, ces fractions sont aussi égales à
$$\frac{d+(4-d)}{10+12}=\frac 2{11}.$$
B. A.

CyndiSld
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Re: Mathématiques, Niveau Supérieur

Message par CyndiSld »

kojak a écrit :Bonjour

Quel niveau plus précisément en supérieur stp ?

Et pas besoin d'écrire en gras et rouge stp, ça fait mal à mes petits yeux.

Pour les vitesses :
Que signifie une vitesse de 10km/h ? en 1h, il parcourt combien de km ? donc pendant un temps $t_1$ Arthur parcourt quelle distance $d_1$ ? idem pour Corentin en distance $d_2$ durant un temps $t_2$ ?
Que vaut la somme de ces 2 distances ? quelle relation entre ces 2 temps $t_1$ et $t_2$ ?


La numération : en base 7 , tu as droit à quel chiffre a, b, ou c ?

Que signifie l'écriture aaa en base 7 ? tu as bien réussi à faire celui avec aa en base 5, non ? Là c'est pareil.

A suivre
Bonjour, merci de ta réponse. Et désolée pour tes petits yeux ^^

Alors, plus précisément je suis en 3e année de Science du langage, et j'ai pris maths en option. On revoie les programmes de plusieurs années/niveaux et plus approfondis… Mais le cours est mal structuré et le professeur donne des exercices à faire alors qu'on n'a pas vu la "leçon" en cours… Et on va dire qu'il est désorganisé (c'est lui qui l'a dit).

Pour les distances, je ne comprend pas ce que tu dis… Enfin, je ne comprend pas totalement… Je vais me poser et revoir ça au calme. Merci.

Pour la numération : en base 7, j'ai le droit à tous les chiffres en dessous de 7, non ? Ceux-là 0/1/3/4/5/6 ?

Mais je n'arrive pas à mettre en lien N, a, b et c...

Merci de ton aide en tout cas.

balf
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Re: Vitesses et numération

Message par balf »

Pour le lien entre N et a,b,c, il faut juste se rappeler ce que cela signifie en base 10 :
$$\mathrm N=[abc]_{10}\iff \mathrm N=a\cdot 10^2+b\cdot 10 +c,$$autrement dit un polynôme en les puissances de 10 dont les chiffres sont les coefficients (les exposants sont les numéros d'ordre en comptant à partir de la droite). C'est tout pareil en n'importe quelle base $B$, avec le contrainte que les chiffres sont compris entre 0 et $B-1$.

Pour les questions de divisibilité, connaissez-vous les congruences modulo un entier ?

B. A.

CyndiSld
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Re: Vitesses et numération

Message par CyndiSld »

balf a écrit :Pour le lien entre N et a,b,c, il faut juste se rappeler ce que cela signifie en base 10 :
$$\mathrm N=[abc]_{10}\iff \mathrm N=a\cdot 10^2+b\cdot 10 +c,$$autrement dit un polynôme en les puissances de 10 dont les chiffres sont les coefficients (les exposants sont les numéros d'ordre en comptant à partir de la droite). C'est tout pareil en n'importe quelle base $B$, avec le contrainte que les chiffres sont compris entre 0 et $B-1$.

Pour les questions de divisibilité, connaissez-vous les congruences modulo un entier ?

B. A.
Merci, je comprend mieux.

Non… Mais pour la dernière question, j'ai fait comme suit :

j'ai pris (000) / (111) / (222) / etc jusqu'à 6, j'ai transformé en base 10 et j'ai montré que ce sont des multiples de 57. Mais ce n'est pas la bonne méthode...

kojak
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Re: Vitesses et numération

Message par kojak »

Bonjour,

Merci pour les précisions de ton parcours.
Tu as fait quoi comme bac au lycée ? L je suppose ou autre ?
CyndiSld a écrit :
j'ai pris (000) / (111) / (222) / etc jusqu'à 6, j'ai transformé en base 10 et j'ai montré que ce sont des multiples de 57. Mais ce n'est pas la bonne méthode...
Ben c'est un peu long non ?

Comme te l'as dit balf pour la base 10, $N=aaa$ en base 7 cela signifie que $N=a\times 7^2+ a\times 7^1 + a\times 7^0 $. La dedans, que vaut $7^2$ et $7^0$ donc il te reste au final combien de $a$ ?
Pas d'aide par MP.

balf
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Re: Vitesses et numération

Message par balf »

Les congruences, ce n'est pas très difficile à comprendre (je peux témoigner que c'est à la portée d'un élève de quatrième qui connaît ses tables de multiplication), et c'est généralement très rapide.

En quelques mots, deux entiers m et n sont congrus modulo, disons 57, si le reste de leur divition par 57 est le même. En particulier, dire qu"un nombre est divisible par 57 revient à dire qu'il est congru à 0. De plus, cette relation de congruence est compatible avec l'addition et la multiplication.

Voyons ce que cela donne ici :
$$[aaa]_7=a\cdot 7^2+a\cdot 7 + a=a(7^2+7+1)$$
Je pense que vous pouvez terminer sans difficulté maintenant (on n'a pas besoin des congruences ici, mais il y a des situations où ça simplifie diablement les calculs.)

B. A.

CyndiSld
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Re: Vitesses et numération

Message par CyndiSld »

Merci à tous les deux.

KOJAK : j'ai fait un bac ST2S, mais j'aimais beaucoup les maths au lycée. D'où mon choix de prendre cette option ^^ .

Oui, c'est long... Si j'ai une bonne logique, il reste 1 seul a, que l'on multiplie -> ax7² + ax7^0 + a ? Et si je calcule : 7² = 49 et 7^0 = 1.
Mais je ne vois pas où tu veux en venir… Je vais m'y poser.

BALF : Je vois ce j'ai pas très compliqué. Donc après ça je calcule, mais comment démontrer que c'est des multiples de 57 ?

Je suis désolée, je suis un peu lourde… Mais je n'aime pas ne pas comprendre, surtout quand il s'agit de maths… J'ai longtemps aimé les maths mais là ça me perturbe…

kojak
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Re: Vitesses et numération

Message par kojak »

CyndiSld a écrit :MSi j'ai une bonne logique, il reste 1 seul a, que l'on multiplie -> ax7² + ax7^0 + a ? Et si je calcule : 7² = 49 et 7^0 = 1.
Attention c'est $a.7^2 + a.7 + a = 49 a + 7 a + a $ et donc tu en as combien des $a$ ?
Pas d'aide par MP.