Nombre d'éléments d'ordre d

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ArthuroG
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Messages : 20
Inscription : mardi 21 avril 2020, 13:08

Nombre d'éléments d'ordre d

Message par ArthuroG »

Bonjour,
je travaille sur l'exercice suivant :
Soit $G$ un groupe cyclique d'ordre $n$. Montrer que, pour tout $d>0$ tel que $d\mid n$, il y a dans $G$ exactement $\varphi(d)$ éléments d'ordre $d$.
L'indication donnée est de supposer que $G=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.

Cette indication est, il me semble, liée au fait que tout groupe cyclique est isomorphe à $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Ici, c'est le cas de $G$.
Je sais que, dans ces conditions, il existe un unique sous-groupe $H$ qui soit d'ordre $d$. Mais je n'arrive pas à voir pourquoi il y a $\varphi(d)$ éléments d'ordre $d$.

Pouvez-vous m'aider ?
Merci !

balf
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Inscription : mercredi 02 janvier 2008, 23:18

Re: Nombre d'éléments d'ordre d

Message par balf »

Re-bonjour,

C'est simplement parce que, dans un tel groupe cyclique, il y a un seul sous-groupe d'ordre $d$, qui est cyclique. Si $b$ en désigne un générateur, la formule que j'ai citée en appendice de ma réponse à votre autre question, montre que les éléments de ce sous-groupe qui sont aussi d'ordre $d$ sont les $b^k$, où $k$ est premier à $d$ — ce qui correspond aux éléments inversibles de l'anneau $\mathbf Z/d\mathbf Z$, lesquels sont en nombre $\varphi(d)$.
B. A.