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Caractérisation de la continuité par l'image réciproque d'un ouvert

Publié : lundi 15 juin 2020, 12:01
par alekhine
Bonjour,
on peut caractériser la continuité d'une fonction $f : E\mapsto F$ où $E$ et $F$ sont deux espaces métriques par le fait que l'image réciproque par $f$ d'un ouvert de $F$ est un ouvert de $E$.
Je n'arrive pas à utiliser cette caractérisation pour montrer que la fonction définie par $f(x)=1$ si $x\leqslant 2$ et $f(x)=2$ si $x>2$ n'est pas continue.
Je sais qu'en soi cela n'a pas d'intérêt, mais c'est pour voir si j'ai bien compris cette notion (n'y arrivant pas il semble que non...)

Re: Caractérisation de la continuité par l'image réciproque d'un ouvert

Publié : lundi 15 juin 2020, 12:13
par MB
Bonjour, quelle est l'image réciproque de $]0;2[$ par la fonction $f$ ?

Re: Caractérisation de la continuité par l'image réciproque d'un ouvert

Publié : lundi 15 juin 2020, 12:31
par alekhine
C'est $]-\infty; 2]$ qui n'est pas un ouvert de $\mathbb{R}$, par conséquent $f$ n'est pas continue.

Re: Caractérisation de la continuité par l'image réciproque d'un ouvert

Publié : lundi 15 juin 2020, 15:13
par MB
Ça me semble correct.

Re: Caractérisation de la continuité par l'image réciproque d'un ouvert

Publié : lundi 15 juin 2020, 16:53
par alekhine
D'accord merci.