Plan de R^3 et isobarycentre

Aide à la résolution d'exercices de mathématiques de tout niveau scolaire.
[participation réservée aux utilisateurs inscrits]
Règles du forum
Merci de soigner la rédaction de vos messages et de consulter ce sujet avant de poster. Pensez également à utiliser la fonction recherche du forum.
Kazik

Plan de R^3 et isobarycentre

Message non lu par Kazik »

Bonsoir,

je bute sur un exo qui paraît simple (niveau TS ?) :
on me donne $A(1,0,0)$, $B(3,2,4)$ et $C(1,1,3)$.
Il faut que je détermine le plan qui contient ces trois points ... :oops:
Enfin on demande l'isobarycentre de ces trois points!

(c'est loin tout ceci pour moi!)
Arnaud
Modérateur honoraire
Modérateur honoraire
Messages : 7097
Inscription : lundi 28 août 2006, 13:18
Localisation : Allemagne
Contact :

Message non lu par Arnaud »

Un point et deux vecteurs directeurs donnent directement un système d'équations paramétriques.

Ce système mène à une équation cartésienne en bossant un peu.

@guiguiche : Au programme des 1ères L et des premières S chez nous.... :wink:
Arnaud
Un peu d'info - Pyromaths - Pas d'aide en MP (non plus)
Kazik

Message non lu par Kazik »

Ok,

donc je prend $\vec{AB}\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}$ et $\vec{AC}\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}$ (non colinéaires) puis le point $A\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$

On a donc :
$s\vec{AB}+t\vec{AC}+A=s\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2s+1\\2s+t\\4s+3t\end{pmatrix}$

ou est le plan :?
Arnaud
Modérateur honoraire
Modérateur honoraire
Messages : 7097
Inscription : lundi 28 août 2006, 13:18
Localisation : Allemagne
Contact :

Message non lu par Arnaud »

Je dirais plutôt :

$$\vec{x}=s\vec{AB}+t\vec{AC}+A=s\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2s+1\\2s+t\\4s+3t\end{pmatrix} $$
Et donc tu l'as "écrit le plan" :



$$ \left\{ \begin{array}{l}
x = 2s + 1 \\
y = 2s + t \\
z = 4s + 3t
\end{array} \right.} $$

avec $s,t \in \R$
Kazik

Message non lu par Kazik »

On ne peut pas l'écrire "comme d'habitude" $ax+by+cz+d=0$ ?
Arnaud
Modérateur honoraire
Modérateur honoraire
Messages : 7097
Inscription : lundi 28 août 2006, 13:18
Localisation : Allemagne
Contact :

Message non lu par Arnaud »

Ca s'appelle une équation cartésienne : manipule le système paramétrique pour exprimer $x$, $y$ et $z$ les uns en fonction des autres ( sans $s$ et $t$ ).
Kazik

Message non lu par Kazik »

Je trouve donc $x-3y+z-1=0$ ?

l'isobarycentre ? :?
Arnaud
Modérateur honoraire
Modérateur honoraire
Messages : 7097
Inscription : lundi 28 août 2006, 13:18
Localisation : Allemagne
Contact :

Message non lu par Arnaud »

Tu as vérifié que l'équation était bonne ?

L'isobarycentre de 3 points connaissant leurs coordonnées, c'est très simple, et très naturel aussi.
Je te laisse chercher un peu ( wikipedia :wink: ).
Arnaud
Un peu d'info - Pyromaths - Pas d'aide en MP (non plus)
guiguiche
Modérateur général
Modérateur général
Messages : 8191
Inscription : vendredi 06 janvier 2006, 15:32
Statut actuel : Enseignant
Localisation : Le Mans
Contact :

Message non lu par guiguiche »

Et avec le produit vectoriel $\vect{AB}\wedge\vect{AC}$ ? Tu obtiens un vecteur normal dont les coordonnées $(a,b,c)$ sont les coefficients que tu cherches. Pour $d$, le plan passe par $A$.

@Arnaud : connais pas le prog de 1L et plus bien celui de 1S. Par contre, je vois bien ce que savent faire (ou pas faire) les élèves en arrivant avec leur bac S en poche.

[edit : @MB/nirosis, et oui, quand on édite, il n'y a plus de signature.]
Arnaud
Modérateur honoraire
Modérateur honoraire
Messages : 7097
Inscription : lundi 28 août 2006, 13:18
Localisation : Allemagne
Contact :

Message non lu par Arnaud »

Ha oui, j'ai même pas pensé qu'il connaissait le produit vectoriel !
L'habitude....
Arnaud
Un peu d'info - Pyromaths - Pas d'aide en MP (non plus)
Kazik

Message non lu par Kazik »

Je crois que l'équation est bonne car les coordonnées des points vérifient cette équation.
Ensuite pour l'isobarycentre c'est la barycentre de $(A,1),(B,1),(C,1)$ ?

Je ne connais pas le produit vectoriel !!
Arnaud
Modérateur honoraire
Modérateur honoraire
Messages : 7097
Inscription : lundi 28 août 2006, 13:18
Localisation : Allemagne
Contact :

Message non lu par Arnaud »

Ha, donc j'ai bien fait, mais cela m'étonne que tu ne connaisses pas...

En effet l'équation est juste, mais il faut toujours avoir le réflexe de vérifier ce genre de choses.
Arnaud
Un peu d'info - Pyromaths - Pas d'aide en MP (non plus)
guiguiche
Modérateur général
Modérateur général
Messages : 8191
Inscription : vendredi 06 janvier 2006, 15:32
Statut actuel : Enseignant
Localisation : Le Mans
Contact :

Message non lu par guiguiche »

Kazik a écrit :Je ne connais pas le produit vectoriel !!
Non ? On ne voit plus ça à la fac ? (déjà qu'on le fait plus en TS depuis pas longtemps)
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
Kazik

Message non lu par Kazik »

Beh je vais peut-être le faire, mais je ne l'est pas encore vu!
Pour mon isobarycentre :D
En faite je m'aperçois que j'ai oublier la définition d'un barycentre !
Arnaud
Modérateur honoraire
Modérateur honoraire
Messages : 7097
Inscription : lundi 28 août 2006, 13:18
Localisation : Allemagne
Contact :

Message non lu par Arnaud »

Eurf... :? :D

Raison de plus pour chercher sur wikipedia.
Arnaud
Un peu d'info - Pyromaths - Pas d'aide en MP (non plus)
Kazik

Message non lu par Kazik »

lol

donc $G$ barycentre de $(A,a),(B,b),(C,c)$ signifie que :

$a\vect{GA}+b\vect{GB}+c\vect{GC}=\vect{0}$ avec $a+b+c\neq0$


(je me souviens qu'il y avait une autre équation avec la somme des coefficients en dénominateur, mais je n'arrive plus à trouver laquelle !)

donc ici $\vect{GA}+\vect{GB}+\vect{GC}=\vec{0}$
soit

$$\begin{pmatrix}x_A-x_G\\y_A-y_G\\z_A-z_G\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x_B-x_G\\y_B-y_G\\z_B-z_G\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x_C-x_G\\y_C-y_G\\z_C-z_G\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$

d'où :

$x_A+x_B+x_C-3x_G=0 \Rightarrow 3x_G=x_A+x_B+x_C=5 \Rightarrow x_G=\frac{5}{3}$
$y_A+y_B+y_C-3y_G=0 \Rightarrow 3y_G=y_A+y_B+y_C=3 \Rightarrow y_G=1$
$z_A+z_B+z_C-3z_G=0 \Rightarrow 3z_G=z_A+z_B+z_C=7 \Rightarrow z_G=\frac{7}{3}$

et donc :

$$G\begin{pmatrix}\frac{5}{3}\\1\\\frac{7}{3}\end{pmatrix}$$

c'est cela ?
Kazik

Message non lu par Kazik »

ceci doit etre faux ...
guiguiche
Modérateur général
Modérateur général
Messages : 8191
Inscription : vendredi 06 janvier 2006, 15:32
Statut actuel : Enseignant
Localisation : Le Mans
Contact :

Message non lu par guiguiche »

Kazik a écrit :ceci doit etre faux ...
J'en sais rien, j'ai pas refait tes calculs. Mais la méthode est correcte;
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
Kazik

Message non lu par Kazik »

Mais quand on dit déterminer l'isobarycentre, ceci signifie que l'on doit déterminer les coordonées d'un point ?
guiguiche
Modérateur général
Modérateur général
Messages : 8191
Inscription : vendredi 06 janvier 2006, 15:32
Statut actuel : Enseignant
Localisation : Le Mans
Contact :

Message non lu par guiguiche »

Kazik a écrit :Mais quand on dit déterminer l'isobarycentre, ceci signifie que l'on doit déterminer les coordonées d'un point ?
Cela dépend du contexte.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
Répondre
  • Sujets similaires
    Réponses
    Vues
    Dernier message