Matrices stochastiques

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau supérieur au baccalauréat.

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simon13
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Matrices stochastiques

Message par simon13 »

Bonjour serait il possible de m'aider svp ?
1) $M= \begin{pmatrix} 1/4 & 3/4 \\ 1/3 & 2/3 \end{pmatrix}$.

a) Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que $M^2= aM+bI_2$.
b) Prouver que pour tout $n$ appartenant à $\N$, il existe $(a_n,b_n)$ appartenant à $\R^2$: $M^2=a_nM+b_nI_2$.
c) Déterminer les relations de récurrences sur les suites $(a_n)$ et $(b_n)$. En déduire les valeurs $a_n$ et $b_n$, puis la matrice $M^n$.
d) Montrer que la suite de matrice $(M^n)$ converge et que sa limite est une matrice stochastique.

2) $K= \begin{pmatrix} 1/3 & 2/3 & 0 \\ 0 & 1/3 & 2/3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $L = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

d) Déterminer les puissances positives ou nulles de $L$.
e) Écrire $K$ comme une combinaison linéaire des matrices $I_3$ et $L$. En déduire les puissances positives ou nulles de $K$.
f) Montrer que la suite $(K^n)$ converge et que sa limite est une matrice stochastique.
1.a) J'ai trouvé $a=11/12$ et $b=1/12$.
1.b) J'ai utilisé la récurrence.
1.c) J'ai trouvé $a_{n+1}=11/12a_n=b_n$ et $b_{n+1}=1/12a_n$.

Merci par avance. J'ai fais de mon mieux, j'ai bcp cherché mais je ne sais pas du tout comment faire pour la suite....
Dernière modification par MB le mercredi 30 décembre 2020, 21:32, modifié 1 fois.
balf
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Re: matrice

Message par balf »

Bonsoir,
À la question b), la relation ne serait-elle pas $\; M^n=a_n M+b_nI_2$ ?

B. A.
projetmbc
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Re: matrice

Message par projetmbc »

Bonsoir.

Il serait bien de faire l'effort de rédiger dans un style non SMS.

Sinon quels sont les problèmes rencontrés ?
simon13
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Re: Matrices stochastiques

Message par simon13 »

Bonsoir, je suis bloqué sur les questions d e et f, j'ai beau chercher mais je n'arrive pas à des resultats concrets... est il possible de m'éclairer svp ?
simon13
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Re: Matrices stochastiques

Message par simon13 »

En effet balf c'est bien ca, c'est une erreur de ma part je m'en excuse. Je m'excuse également pour mon écriture sms, mais je ne sais pas comment on fait... :|
guiguiche
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Re: Matrices stochastiques

Message par guiguiche »

Tes relations de récurrence sont assez obscures.
Tu dois pouvoir montrer que la suite $(a_n )$ est récurrente linéaire d'ordre 2.
Quelle est ta définition de la convergence des suites de matrices ?
Sais-tu montrer que $M^n$ est stochastique pour tout entier $n$ ?
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Re: Matrices stochastiques

Message par simon13 »

Oui c'est bon j'ai réussi à montrer que la suite est récurrente linéaire d'ordre 2 et que l'équation caractéristique est $r^2-11/12r-1/2=0$ et également que $M^n$ est stochastique. Mais mon problème est sur les questions e, d et f.
Dernière modification par MB le jeudi 31 décembre 2020, 23:24, modifié 1 fois.
Raison : Mise en forme du message.
projetmbc
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Re: Matrices stochastiques

Message par projetmbc »

L est la somme d'une matrice diagonale et d'une triangulaire... A creuser.
guiguiche
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Re: Matrices stochastiques

Message par guiguiche »

projetmbc a écrit : jeudi 31 décembre 2020, 18:11 L est la somme d'une matrice diagonale et d'une triangulaire... A creuser.
Une diagonale et une nilpotente qui commutent peut-être ?
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
projetmbc
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Re: Matrices stochastiques

Message par projetmbc »

Je ne voulais pas trop en dire non plus ... ;)

Sinon quand on est bloqué, rien n'empêche de voir ce qu'il se passe pour de petites valeurs de l'exposant $n$ dans $L^n$. Ceci peut se faire sans souci avec une calculatrice.