Groupe de Galois

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau supérieur au baccalauréat.
[participation réservée aux membres inscrits]
Règles du forum
Merci de soigner la rédaction de vos messages et de consulter ce sujet avant de poster. Pensez également à utiliser la fonction recherche du forum.
nxtxn
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 10
Inscription : dimanche 21 mars 2021, 09:55
Statut actuel : Étudiant

Groupe de Galois

Message non lu par nxtxn »

Bonjour,

Comment démontrer que $G_{\mathbb{Q}(\cos(\frac{2\pi}{n}))}^{\mathbb{Q}(e^{\frac{2\pi}{n}i})}$ est un sous-groupe normal de $G_{\mathbb{Q}}^{\mathbb{Q}(e^{\frac{2\pi}{n}i})}$ ?

Merci d'avance!
balf
Modérateur spécialisé
Modérateur spécialisé
Messages : 4045
Inscription : mercredi 02 janvier 2008, 23:18

Re: Groupe de Galois

Message non lu par balf »

Bonsoir,

Que ce soit un sous-groupe distingué équivaut à montrer que l'extension $\mathbf Q\bigl(\cos \frac{2\pi}n\bigr)/\mathbf Q$ est galoisienne.

B. A.
nxtxn
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 10
Inscription : dimanche 21 mars 2021, 09:55
Statut actuel : Étudiant

Re: Groupe de Galois

Message non lu par nxtxn »

Et comment pourrais-je démontrer que cette extension est galoisienne ?

Merci d'avance.
balf
Modérateur spécialisé
Modérateur spécialisé
Messages : 4045
Inscription : mercredi 02 janvier 2008, 23:18

Re: Groupe de Galois

Message non lu par balf »

Bonsoir,
Ma remarque précédente n'est pas utile pour démontrer que que $\;\operatorname{Gal}\Bigl(\mathbf Q\Bigl(\mathrm e^{\tfrac{2i\pi} n}\Bigr)\Big/\mathbf Q\bigl(\cos\frac{2\pi} n\bigr)\Bigr)$ est un sous-groupe distingué de $\;\operatorname{Gal}\Bigl(\mathbf Q\Bigl(\mathrm e^{\tfrac{2i\pi} n}\Bigr)\Big/\mathbf Q\Bigr)$ puisque ce dernier est abélien, isomorphe au groupe multiplicatif $(\mathbf Z/n\mathbf Z)^{\times}$.

B. A.