[L1] Fonctions

[Florent]

Bonjour à tous, je suis en L1 et en TD le prof a décidé de laisser un exercice de coté à cause de son coté théorique, j'ai malgré tout essayé de le faire mais je n'ai vraiment aucune idée. Le voici :

Montrer que si $f$ une fonction définie sur $\R$ qui est continue en $0$et vérifie $f(x+y)=f(x)f(y)$ pour tout couple $(x,y)\in \R^2$, alors $f$est continue sur $\R$.

Merci.

[MB]

Montrer que si $f$ une fonction définie sur $\R$ qui est continue et vérifie $f(x+y)=f(x)f(y)$ pour tout couple $(x,y)\in \R^2$, alors $f$est continue sur $\R$.

Continue en un point tu veux dire ?

[Florent]

C'est rectifié. C'etait $f$ continue en $0$.

[P.Fradin]

On a $f(0)^2=f(0)$ donc $f(0)=0$ ou $1$.

Si $f(0)=0$ alors il est facile de voir que $f$ est constamment nulle.

Si $f(0)=1$, alors $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=\lim\limits_{h\to 0} f(x_0+h)=
\lim\limits_{h\to 0}f(x_0)f(h)=f(x_0)$ car $f$ étant continue en $0$ on a $\lim\limits_{h\to0}f(h)=f(0)=1$.

Dans les deux cas, $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.

[Florent]

Merci beaucoup de votre aide.

[nirosis]

Si $f(0)=1$, ne peut-on pas montrer que $f$ est l'exponentielle ?
Il faut rajouter l'hypothèse $f$ dérivable en 0 je crois.

La preuve doit commencer par écrire $f'(x+0)'=f(x).f'(0)$ d'où $f'(x)=f(x).f'(0)$ ce qui est l'equa diff de l'exponentielle.

[P.Fradin]

Si $f(0)=1$, ne peut-on pas montrer que $f$ est l'exponentielle ?
Il faut rajouter l'hypothèse $f$ dérivable en 0 je crois.

La preuve doit commencer par écrire $f'(x+0)'=f(x).f'(0)$ d'où $f'(x)=f(x).f'(0)$ ce qui est l'equa diff de l'exponentielle.

C'est exact, on obtient les fonctions du type $x\mapsto e^{kx}$. Mais si $f$ est seulement continue en 0 avec $f(0)=1$, ça marche aussi car:

1) on vérifie que $f$ ne s'annule pas.
2) en écrivant $f(x)=f^2(x/2)$ on a que $f(x)>0$.
3) la fonction $g: x\mapsto \ln(f(x))$ est continue en $0$ et vérifie $g(x+y)=g(x)+g(y)$

Un résultat connu dit alors que $g$ est linéaire $g(x)=kx$, d'où $f(x)=e^{kx}$.

[nirosis]

Oui c'est vrai, mais comme ça passe par le $\ln$ je pense que c'est plus discutable selon le point de vue proposé.

Toujours est-il que je ne connaissais pas cette démonstration.
Merci.

[P.Fradin]

comme ça passe par le $\ln$ je pense que c'est plus discutable selon le point de vue proposé.

????? Il n'y a qu'en terminale que l'on présente l'exponentielle en premier comme solution d'une équa. dif (alors que les élèves ne savent même pas ce qu'est une équ. dif en réalité..) puis le logarithme comme la réciproque.

Dès le niveau Bac+1, bien évidemment on remet les choses dans l'ordre (qui était l'ordre initial d'ailleurs..), c'est à dire: on traite la notion de primitive, puis le log, puis l'exponentielle.

Par contre à partir du niveau Math Spé, on peut rédéfinir l'exponentielle à partir des séries entières, puis à partir de là redéfinir proprement les fonctions cos, sin, le nombre $\pi$...etc

[Florent]

Bonsoir, la deuxieme question de ce probleme :

Trouver toutes les applications $f:\R\longrightarrow\R\/$ telles que
$f(x+y)=f(x)+f(y)$ pour tout couple $(x,y)\in\R^2$

[nirosis]

????? Il n'y a qu'en terminale que l'on présente l'exponentielle en premier comme solution d'une équa. dif (alors que les élèves ne savent même pas ce qu'est une équ. dif en réalité..) puis le logarithme comme la réciproque.

Justement j'avais vu ce truc dans une leçon de capès. C'est sans doute pour cela que c'était démontré sans le log. C'est ce que je voulais dire en parlant de "point de vue". Un prof de lycée fera la démo différemment par rapport à un prof de prépa.


@Florent : Lis ce qui est écrit plus haut, il y a la réponse à ta 2ème question.

[P.Fradin]

Bonsoir, la deuxieme question de ce probleme :

Trouver toutes les applications $f:\R\longrightarrow\R\/$ telles que
$f(x+y)=f(x)+f(y)$ pour tout couple $(x,y)\in\R^2$

Toutes les fonctions continues!

[Florent]

ah oui en effet, bizarre une réponse attendu sans qu'elle soit demandée :D

[nirosis]

Bonsoir, la deuxieme question de ce probleme :

Trouver toutes les applications $f:\R\longrightarrow\R\/$ telles que
$f(x+y)=f(x)+f(y)$ pour tout couple $(x,y)\in\R^2$

Toutes les fonctions continues!

Linéaires surtout.

$f(x+y)=f(x)f(y)$ : tu voulais taper cela Florent surement, j'avais même pas vu ton erreur

[P.Fradin]

Bonsoir, la deuxieme question de ce probleme :

Trouver toutes les applications $f:\R\longrightarrow\R\/$ telles que
$f(x+y)=f(x)+f(y)$ pour tout couple $(x,y)\in\R^2$

Toutes les fonctions continues!

Linéaires surtout.

$f(x+y)=f(x)f(y)$ : tu voulais taper cela Florent surement, j'avais même pas vu ton erreur

Heu... J'avais pas vu non plus

[Florent]

Non pas du tout la deuxieme question du probléme est :

Trouver toutes les applications $f:\R\longrightarrow\R$ continues telles que
$\forall x,y\in\R, f(x+y)=f(x)+f(y)$

P.Fradin avait raison (désolé)

[nirosis]

ah ok, désolé moi aussi alors

Donc ce sont les fonctions linéaires pour ta question 2)

[maskou]

Bonjour

Tu vas trouver les fonctions linéaires $f(x)=ax$ où $a\in \R$
Pour cela on procède en plusieurs étapes:
D'abord on prouve $f(0)=0$ puis on pose $f(1)=a \in \R$, on obtient par récurrence $f(n)=an~\forall n \in \N$ et même $\forall n \in \Z$ car $f(n)+f(-n)=f(0)=0$
on a au passage $f(nx)=nf(x)~\forall n \in \Z$

Puis en écrivant $\sum_{i=1}^{q} f(\frac{1}{q})=f(1)$ il vien t$f(\frac{1}{q})=\frac{a}{q}$ d'où $f(r)=ar ~~\forall r \in \Q$

Enfin on passe a tous les réels par densité de $\Q$ dans $\R$ et en utilisant la continuité de $f$ (indispensable pour le passage à la limite)
Je te laisse rédiger cette partie, pour $x \in \R$ prend une suite de rationnels qui tend vers $x$...

C'est un exercice classique avec une méthode classique qu'il est bon de connaitre...

[Florent]

C'est un exercice classique avec une méthode classique qu'il est bon de connaitre...

je trouve bizarre que le prof a dit que l'exercice etait trop "théorique" pour nous.