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washboard

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Message non lu par washboard »

Bonjour,

comment montrer que la série de terme général
$u_n(x)=\dfrac{1}{n+x-1} + \ln(1-\dfrac{1}{n})$ $n \ge 1$ est convergente pour au moins un réel $x$, $x>0$
merci par avance

[Edit Arnaud : correction LaTeX]
Jean-charles
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Message non lu par Jean-charles »

Un petit DL à l'ordre 2 de $\ln(1-\dfrac{1}{n})$ devrait bien aider...
washboard

Message non lu par washboard »

$ln(1- \dfrac{1}{n})=-\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{2n^2} + \dfrac{1} {n^2}\varepsilon(\dfrac {1}{n})$

d'où $u_n(x)$ est équivalent à $-\dfrac{1}{2n^2}$ série de Riemann convergente
c'est ça ?

[Edit Kojak : c'est plus joli..]

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\varepsilon
kojak
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Message non lu par kojak »

washboard a écrit :
d'où $u_n(x)$ est équivalent à $-\dfrac{1}{2n^2}$ série de Riemann convergente
c'est ça ?
si $x=1$ sinon le $\dfrac{1}{n+x-1}$, il ne faudrait pas l'oublier....
:roll:

[edir Kojak : j'ai corrigé mon post..]
Dernière modification par kojak le vendredi 16 février 2007, 15:13, modifié 1 fois.
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Jean-charles
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Message non lu par Jean-charles »

washboard a écrit :$ln(1- \dfrac{1}{n})=-\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{2n^2} + \dfrac{1} {n^2}\varepsilon(\dfrac {1}{n})$

d'où $u_n(x)$ est équivalent à $-\dfrac{1}{2n^2}$ série de Riemann convergente
c'est ça ?
C'est ça à condition effectivement, de bien choisir une valeur pour $x$...
washboard

Message non lu par washboard »

pour $x\ge 1$ fixé , on aura $\dfrac {1}{n+x-1}$qui sera équivalent en l'infini à $\dfrac {1}{n}$
kojak
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Message non lu par kojak »

Oui, mais pour additionner les équivalents, encore faut il qu'il soit de même ordre et que la somme ne soit pas nulle... et donc avec ta méthode tu as un équivalent de $u_n(x)$ qui est $0$... bug....
Donc il vaut mieux faire un DL à l'ordre 2 et comme ceci pas d'embrouille...
Les équivalents, c'est bien pratique, mais il faut les manier avec précaution... il faut s'en méfier comme de la peste, si on n'est pas sûr de soi....
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Jean-charles
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Message non lu par Jean-charles »

N'oublie pas que l'on te donne juste de prouver qu'elle converge pour au moins une valeur de $x$.
N'y-a-t-il pas une valeur de $x$ qui te saute au yeux ?
kojak
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Message non lu par kojak »

Jean-charles a écrit :N'y-a-t-il pas une valeur de $x$ qui te saute au yeux ?
surtout j'ai pas fait exprès mais je lui ai donné :roll:
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washboard

Message non lu par washboard »

x=1 bien sûr mais pour les autres c'est trop risqué,on ne peut affirmer comme je l'ai fait dans le message précédent en additionnant des équivalents.

Par contre, le fait de dire que $\dfrac {1}{n+x-1}$ est équivalent à $\dfrac {1}{n} $ pour $ x \ge 1 $ est vrai ,n'est-ce pas ?
C'est la somme d'équivalent qu'on ne peut faire ensuite.
kojak
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Message non lu par kojak »

washboard a écrit :x=1 bien sûr mais pour les autres c'est trop risqué,on ne peut affirmer comme je l'ai fait dans le message précédent en additionnant des équivalents.
correct..
washboard a écrit : Par contre, le fait de dire que $\dfrac {1}{n+x-1}$ est équivalent à $\dfrac {1}{n} $ pour $ x \ge 1 $ est vrai ,n'est-ce pas ?
correct.. et même pour $x>0$
washboard a écrit : C'est la somme d'équivalent qu'on ne peut faire ensuite.
ici, car il faut des équivalents de même ordre et que la somme ne soit pas nulle... ici la somme est nulle, d'où le bug...
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Jean-charles
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Message non lu par Jean-charles »

Pour $x=1$:
$u_n=\dfrac{1}{n}+\ln(1-\dfrac{1}{n})$
Donc $u_n$ est équivalent à $-\dfrac{1}{2n^2}$, et donc la série converge pour $x=1$.
Je ne vois pas où est le problème...
Dernière modification par Jean-charles le vendredi 16 février 2007, 17:33, modifié 1 fois.
washboard

Message non lu par washboard »

C'est bon , pas de problème.
merci pour ces renseignements.A bientôt.
kojak
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Message non lu par kojak »

Jean-charles a écrit :Donc $u_n$ est équivalent à $-\dfrac{1}{n^2}$, et donc la série converge pour $x=1$.
.
A un coefficient près $u_n \sim -\dfrac{1}{2n^2}$ :wink:
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Jean-charles
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Message non lu par Jean-charles »

kojak a écrit : A un coefficient près $u_n \sim -\dfrac{1}{2n^2}$ :wink:
Oups, c'est réparé, merci !
kojak
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Message non lu par kojak »

Jean-charles a écrit :Oups, c'est réparé, merci !
Niakkk, Niakkkk, Niakkkk... : tu croyais qu'on le verrait pas :P
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