j'ai un petit probleme a vous soumettre dont voici l'enoncé :
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Soit $\rm f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ une application croissante et $\rm A=\{x\in[0,1] | x\le f(x)\}$
1/ Montrer que $\rm A$ admet une borne supérieure que l'on note $\rm a$
2/ Montrer que $\rm a\in[0,1]$
3/ Montrer que $\rm f(a)$ est un majorant de $\rm A$ et que $\rm a\in A$
4/ On suppose que $\rm a=1$. Montrer que $\rm f(1)=1$
5/ On suppose que $\rm a\in[0,1[$. Montrer que $\rm f(a)$ est un majorant de $\rm ]a,1]$, puis $\rm f(a)=a$
6/ En déduire que pour toute application croissante $\rm f:[0,1] \to [0,1]$ l'equation $\rm f(x)=x$ admet au moins une solution.
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Voici mes quelques reponses :
1/ $\rm \forall x\in A, x\le f(x)$ donc pour $\rm a=f(x)$ on a que $\rm \forall x\in A, x\le a$ c'est a dire que $\rm a$ majore $\rm A$ et c'est de plus le plus petit des majorants donc la borne superieure.
2/ Nous venons d'etablir que $\rm a=f(x)$ est la borne superieure de $\rm A$ ; or $\rm f(x)$ est a valeurs dans $\rm [0,1]$ donc $\rm a\in[0,1]$.
3/ Pour $\rm x=a$ on a $\rm A=\{a\in[0,1] | a\le f(a)\}$ soit $\rm \forall a\in A, a\le f(a)$ donc $\rm f(a)$ majore $\rm A$.
- Je n'arrive pas a montrer que $\rm a\in A$
- Mis a part le fait que $\rm f(x)=1$ je n'aboutit pas aux résultats demandés
- Je n'y arrive pas peut etre a cause des questions précédentes ?
Voila je remercie celui ou celle qui me viendra en aide et d'avance merci.