[MPSI] fonctions
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salut, voila une petite question qui m'a vraiment pris du temps.
soit f une fonction de classe $C^1$ sur $\R$ telle que:
$f(x) + f'(x) \rightarrow 0$ quand $x \rightarrow \infty$
Mq $f(x) \rightarrow 0$ quand $x \rightarrow \infty$
soit f une fonction de classe $C^1$ sur $\R$ telle que:
$f(x) + f'(x) \rightarrow 0$ quand $x \rightarrow \infty$
Mq $f(x) \rightarrow 0$ quand $x \rightarrow \infty$
franchement, j'ai jamais entendu parlé de ce resultat classique.
je ne sais pas d'où ca viens, si une petite idée de demonstration est disponible, svp.
ensuite, meme si je l'applique ici, je ne sais pas comment se debarrasser du ln(x).
car je trouve
si f(ln(x)) + f'(ln(x)) ---->0 alors f(ln(x)) ----->0
je ne sais pas d'où ca viens, si une petite idée de demonstration est disponible, svp.
ensuite, meme si je l'applique ici, je ne sais pas comment se debarrasser du ln(x).
car je trouve
si f(ln(x)) + f'(ln(x)) ---->0 alors f(ln(x)) ----->0
Si $f(\ln(x)) \to 0$ en $+\infty$ alors $f(x)$ aussi car $f(x)=f(\ln(e^x))$ et $e^x\to +\infty$ (composition des limites), cela est assez évident non?.
Quant au résultat classique cité plus haut, il doit trainé dans tous les bouquins d'exercices de prépas. Un peu technique au niveau sup, très facile au niveau spé.
Quant au résultat classique cité plus haut, il doit trainé dans tous les bouquins d'exercices de prépas. Un peu technique au niveau sup, très facile au niveau spé.
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Cela ressemble à la règle de L'Hôpital non ? (qui est un corollaire du théorème de Rolles en fait)
nirosis
Lisez le tutoriel sur LaTeX
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Cela ressemble effectivement à la règle de L'Hospital, mais ce n'est pas exactement celle-ci car c'est une limite en l'infini.
Soit $\varepsilon>0$, à partir d'un réel $x_0$ on a $|f'(x)|<\varepsilon$,
on écrit $|\frac{f(x)}x| \leq \frac{|f(x_0)|}x+\frac1x|\int_{x_0}^xf'(t)\,dt|\leq$ $\frac{|f(x_0)|}x+\frac1x\int_{x_0}^x|f'(t)|\,dt\leq \frac{|f(x_0)|}x+\frac{x-x_0}x\varepsilon\leq \frac{|f(x_0)|}x+\varepsilon$
on peut prendre $x$ encore plus grand ($x\geq x_1>x_0$) de telle sorte que $\frac{|f(x_0)|}x\leq \varepsilon$ ce qui donnera: $|\frac{f(x)}x| \leq 2\varepsilon$ dès que $x\geq x_1$.
PS: si $f'$ n'est pas continue, on utilise l'inégalité des accroissements finis à la place de l'intégrale dans la preuve ci-dessus.
Soit $\varepsilon>0$, à partir d'un réel $x_0$ on a $|f'(x)|<\varepsilon$,
on écrit $|\frac{f(x)}x| \leq \frac{|f(x_0)|}x+\frac1x|\int_{x_0}^xf'(t)\,dt|\leq$ $\frac{|f(x_0)|}x+\frac1x\int_{x_0}^x|f'(t)|\,dt\leq \frac{|f(x_0)|}x+\frac{x-x_0}x\varepsilon\leq \frac{|f(x_0)|}x+\varepsilon$
on peut prendre $x$ encore plus grand ($x\geq x_1>x_0$) de telle sorte que $\frac{|f(x_0)|}x\leq \varepsilon$ ce qui donnera: $|\frac{f(x)}x| \leq 2\varepsilon$ dès que $x\geq x_1$.
PS: si $f'$ n'est pas continue, on utilise l'inégalité des accroissements finis à la place de l'intégrale dans la preuve ci-dessus.
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