Théorème des accroissements finis

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boobamane
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Théorème des accroissements finis

Message non lu par boobamane »

Bonjour,
Voici l'énoncé de mon exercice.
Soit la fonction $f$ telle que $f(x) = \dfrac{x+2}{x+1}$.
1) Étudier les variations de $f$.
2) Sans résoudre l'équation, montrer que $f(x)=x$ admet une unique solution $\alpha$ appartenant à $[1 ;2]$.
3) Montrer que $| f'(x) | \leq \frac{1}{4}$ sur $[1; 2]$.
4) En déduire que $| f(x) - \alpha | \leq \frac{1}{4} \, |x - \alpha |$ sur $[1; 2]$.
J'ai eu comme fonction dérivée $f'(x) = \dfrac{-1}{(x+1)^2}$ et le tableau de variation ci-dessous:
9e7967914b0ebe855041c4eb7b3b1654d5948288.svg
Avec les graphes de $f$ et de $y=x$, on voit bien l'unique point. Et comme je suis resté trop longtemps au collège, je ne vois pas trop par où commencer pour montrer l'unicité de $\alpha$ et son appartenance à $[1; 2]$.

Merci pour toute piste.
MB
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Re: Théorème des accroissements finis

Message non lu par MB »

Bonjour et merci pour l'effort de mise en page. D'ailleurs tu as utilisé un utilitaire pour réaliser le tableau de variations asymptote ?

Sinon, je ne sais pas exactement à quel niveau se place cet exercice (il serait bien de le préciser), mais puisqu'on sait que la fonction $f$ est continue sur $[1;2]$, on peut obtenir l'existence du point fixe $\alpha$ en appliquant le théorème des valeurs intermédiaires à la fonction $x \mapsto f(x)-x$ (en remarquant que $f(1)-1$ est positif, alors que $f(2)-2$ est négatif). La stricte décroissance de $f$ sur $[1;2]$ permet d'assurer l'unicité de $\alpha$.
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boobamane
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Re: Théorème des accroissements finis

Message non lu par boobamane »

Bonjour,
Merci pour la piste. J'y avais pas pensé du tout mais c'est bien le TVI qui règle la première question.
La suite de l'exercice me parait assez simple.
Merci d'avoir réédité aussi j'ai voulu modifié le titre mais j'y parvenais pas. Cette option n'existe-t-elle plus?
MB
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Re: Théorème des accroissements finis

Message non lu par MB »

boobamane a écrit : mercredi 09 décembre 2020, 12:36 Merci d'avoir réédité aussi j'ai voulu modifié le titre mais j'y parvenais pas. Cette option n'existe-t-elle plus?
Normalement ça reste possible.
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