[TS] Suite (récurrence)

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cyril69210

[TS] Suite (récurrence)

Message non lu par cyril69210 »

Bonjour.

Voici mon problème :
Etudier le sens de variation de $(U_n)$ définie par :

$$U_{n+1}=U_n(1-U_n)$$

sachant que $U_0=0,5$.

Un raisonnement par récurrence est attendu.
J'ai démontré que pour $n=0$ la suite $(U_n)$ est décroissante sur $[0;1]$.

Mais je n'arrive pas à faire la suite, notamment trouver l'hypothese de récurrence.
J'aimerais quelques tuyaus car on commence juste ce type de raisonnement.

Merci d'avance.
MB
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Re: [TS] Suite (récurrence)

Message non lu par MB »

cyril69210 a écrit :J'ai démontré que pour $n=0$ la suite $(U_n)$ est décroissante sur $[0;1]$.
Que veut dire cette phrase ?
MB. (rejoignez pCloud et bénéficiez de 10Go de stockage en ligne gratuits)
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cyril69210

Message non lu par cyril69210 »

Apres relecture : rien du tout.
J'ai essayé pour $n=0$ voila.
guiguiche
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Message non lu par guiguiche »

La récurrence, c'est pour prouver que $U_n \in [0,1]$ pour tout entier naturel $n$. Ensuite le sens de variation est immédiat en utilisant la définition.
cyril69210

Message non lu par cyril69210 »

Je comprend pas trop :? désolé !

pour $n=0$, $U_1<U_0$

Donc ($U_n$) est strictement décroissante sur [0;1]

maintenant faut que je demontre que $U_{n+1}<U_n$ donc que ($U_n$) est strictement décroissante sur $\N$ non ??
guiguiche
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Message non lu par guiguiche »

cyril69210 a écrit : pour n=0 , $U_1<U_0$

Donc ($U_n$) est strictement décroissante sur [0;1]
Non : ... donc $u_1<u_0$ un point c'est tout !

Une suite n'est pas définie sur $]0,1[$ donc dire qu'elle est décroissante sur $[0,1]$ est une aberration sur le plan mathématique.
Mais commence par la récurrence, comme je te l'ai dit, le sens de variation s'établit tout seul ensuite (sans autre récurrence).
cyril69210

Message non lu par cyril69210 »

D'accord merci je vais essayer !

C'est bon j'ai trouver sans l'aide de la récurrence le sens de variation de la suite !
Mais a mon avis un demonstration par recurrence etait demandé ..
cyril69210

Message non lu par cyril69210 »

J'aurais une autre petite question !
Que veut dire le point d'exclamation ? comme ici :

$U_n$= $\dfrac{n²}{n!}$

J'ai beau regarder ce n'est pas marqué dans mon cours.
guiguiche
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Message non lu par guiguiche »

Par définition:
$$n!=n\times(n-1)\times(n-2)\times\dots\times2\times1$$
cyril69210

Message non lu par cyril69210 »

D'accord ! je sent que je vais m'amuser... :?
Samurai_2k5

Message non lu par Samurai_2k5 »

Essai $U_{n+1}/U_n < 1$ .... car $0<U_n<1$.
Arnaud
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Message non lu par Arnaud »

Samurai_2k5 a écrit :Essai $U_{n+1}/U_n < 1$ .... car $0<U_n<1$.
Affirmation fausse, un contre-exemple est donné par $T_n=1-\dfrac{1}{n}$
Samurai_2k5

Message non lu par Samurai_2k5 »

Arnaud a écrit :
Samurai_2k5 a écrit :Essai $U_{n+1}/U_n < 1$ .... car $0<U_n<1$.
Affirmation fausse, un contre-exemple est donné par $T_n=1-\dfrac{1}{n}$
Je parlais du cas particuier de l'exercice: dans notre cas on montre que $Un<1$, et pas definition de $Un$on onbtient le resultat.

A tete reposé je dirai que $Un<1/2$ ( fonction $f(x)=x(1-x) sur [0,1]$), ce qui donne la convergence. :wink:
Samurai_2k5

Message non lu par Samurai_2k5 »

Samurai_2k5 a écrit :
A tete reposé je dirai que $Un<1/2$ ( fonction $f(x)=x(1-x) sur [0,1]$), ce qui donne la convergence. :wink:
Pas utile, juste que $0<Un<1$ suffit.
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