Racines de trinômes

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau inférieur au baccalauréat.

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Senior
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Racines de trinômes

Message par Senior »

Bonjour/soir à tous :bye1:

Voici un problème sur lequel je ne m'élève pas d'un pouce !

- Enoncé :
Soit les 2 trinômes suivant :
$f(x)\equiv ax^2+bx+c$
$g(x)\equiv f(x)+m(2ax+b)$
x la variable; a, b, c sont des nombres relatifs donnés; $m$ est un paramètre.
1°) Montrer que, $\forall m \in \Re$, si l'équation $f(x)=0$ admet 2 racines $\alpha \in \Re$ et $\beta \in \Re$,
l'équation $g(x)=0$ admet aussi 2 racines $\alpha' \in \Re$ et $\beta' \in \Re$.
2°) On suppose que l'équation $f(x)=0$ admet 2 racines $\alpha \in \Re$ et $\beta \in \Re$.
Calculer le produit $P=g(\alpha)g(\beta)$ en fonction de a, b, c, $m$. Déduire du signe de P la disposition
relative des 4 racines $\alpha, \beta, \alpha', \beta'$.

Une piste SVP !

Merci et @+ :)
Patrick

lafayette
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Re: Racines de trinômes

Message par lafayette »

Bonsoir,
à quelle condition sur $a$, $b$ et $c$ l'équation $f(x)=0$ admet-elle deux solutions réelles (tu ne précises pas si en plus elles doivent être distinctes) ?
L'équation $g(x)=0$ est, elle aussi, une équation du second degré : que faut-il calculer pour savoir si elle admet des solutions réelles ?

sam_93
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Re: Racines de trinômes

Message par sam_93 »

bonsoir,

as-tu vu la notion de discriminant??

Senior
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Re: Racines de trinômes

Message par Senior »

lafayette a écrit :Bonsoir,
à quelle condition sur $a$, $b$ et $c$ l'équation $f(x)=0$ admet-elle deux solutions réelles (tu ne précises pas si en plus elles doivent être distinctes) ?
L'énoncé est complet.
L'équation $g(x)=0$ est, elle aussi, une équation du second degré : que faut-il calculer pour savoir si elle admet des solutions réelles
Ok, je décolle :D
- Corrigé :

--- 1ère question ---

$\alpha$ et $\beta$ sont racines/solutions de $f(x)$ uniquement si le discriminant $\Delta$:
$b^2-4ac \ge 0$
Dans ce cas on a :
$\alpha=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
et
$\beta=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Concernant $g(x)$:
$g(x)\equiv ax^2+bx+c+m(2ax+b)\Leftrightarrow g(x)\equiv ax^2+x(2am+b)+bm+c$
$\Delta'=(2am+b)^2-4a(bm+c)=b^2+4a(am^2+c)$
Les solutions/racines $\alpha'$ et $\beta'$ uniquement si le discriminant est positif :
C'est à dire si : $b^2+4a(am^2+c)\ge 0$, on a :
$\alpha'=\dfrac{-(2am+b)+{\sqrt\Delta'}}{2a}$
et
$\beta'=\dfrac{-(2am+b)-{\sqrt\Delta'}}{2a}$

--- 2ème question ---

Calcul du produit : $P=g(\alpha)g(\beta)$$g(\alpha)=f(\alpha)+m(2a\alpha+b)$
et $g(\beta)=f(\beta)+m(2a\beta+b)$
Mais comme : $f(\alpha)=f(\beta)=0$
$P=(2am\alpha+b)(2am\beta+b)$

En lisant le cours j'ai trouvé ce théorême :
"La relation $f(\alpha).f(\beta)<0$ exprime une condition suffisante et nécessaire pour que
$f(x)=0$ admette dans $R$ une racine et une seule entre 2 nombres donnés $\alpha$ et $\beta$."

Pour l'étude du signe de P j'en déduis que ($\alpha < \beta$):
$g(\alpha)g(\beta)<0$ ssi $(2am\alpha+b)(2am\beta+b)<0$
Ceci me permet de conclure que j'obtient 2 dispositions possibles :
En effet, $\alpha'$ et $\beta'$ sont les racines de $g(x)$, donc :
$\alpha<\alpha'<\beta<\beta'$ ou $\alpha'<\alpha<\beta'<\beta$

Voilà c'est fini, SVP vérifiez les calculs et la logique.

Merci et @+
Patrick

rebouxo
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Re: Racines de trinômes

Message par rebouxo »

Il y a une coquille dans ton calcul de $g(\alpha)g(\beta)$.

Le théorème que tu cites est faux. Prend $\cos(x)$ comme fonction et $a=0$ et $b=3\pi$. Le produit est bien négatif. Il y a plus d'une solution à l'équation $\cos(x) = 0$.

Pour l'étude du signe de $P$, il faudrait au moins dire comment tu le trouves ce signe : en développant $P$ on obtient $4ac-b^2 <0$ par hypothèse. Dans l'optique de simplifier les calculs je garderais $m^2$ en facteur : c'est positif, donc cela ne changera pas le signe.

Comment passes-tu de $P< 0$ à $\alpha' < \alpha < \beta < \beta'$ ?

Question subsidiaire (dont je n'ai pas la réponse) On dirait que l'on s'intéresse aux racines de $f(x) -f'(x)$ ?

Olivier
A line is a point that went for a walk. Paul Klee.
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Senior
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Re: Racines de trinômes

Message par Senior »

rebouxo a écrit :Il y a une coquille dans ton calcul de $g(\alpha)g(\beta)$.
Le théorème que tu cites est faux. Prend $\cos(x)$ comme fonction et $a=0$ et $b=3\pi$. Le produit est bien négatif. Il y a plus d'une solution à l'équation $\cos(x) = 0$.
Je pense que ce théorême est juste si tu le "restreint" au trinôme, ce qui nous intéresse :wink:
Pour l'étude du signe de $P$, il faudrait au moins dire comment tu le trouves ce signe : en développant $P$ on obtient $4ac-b^2 <0$ par hypothèse. Dans l'optique de simplifier les calculs je garderais $m^2$ en facteur : c'est positif, donc cela ne changera pas le signe.
Je m'attendais à cet argument sur le parachutage du résultat dans l'étude du signe de $P$ :)
A mon niveau voila comment je vois (maintenant) la chose. Dans l'expression, SI celle-ci est juste/vérifiée ?:
$P=(2am\alpha+b)(2am\beta+b)$
Dans chacun des 2 facteurs du produit, seul $\alpha$ dans le 1er facteur et $\beta$ dans le second change l'expression de $P$ :
En effet, si j'étudie l'expression réduite $(2am+b)(2am+b)$, c'est un carré donc tjrs positif.
j'en déduis que $\alpha$ et $\beta$ sont les 2 (seuls) nombres dont dépend le signe de P. C'est juste ?
Comment tu trouves $4ac-b^2<0$ dans le développement de P ?
Comment passes-tu de $P< 0$ à $\alpha' < \alpha < \beta < \beta'$ ?
Si le théorême est juste (ce que je crois), il y a une démonstration d'une page et+, j'explique ainsi mon raisonnement.
Lorsque j'écrie $P=g(\alpha).g(\beta)$
ici $\alpha$ et $\beta$ sont 2 nombres réels ordinaires, même si ils sont racines de $f(x)$
Si $P<0$ cf théorême, alors il existe un nombre racine de $g(x)$ intercalé entre $\alpha$ et $\beta$ et c'est soit $\alpha'$ ou $\beta'$
Si c'est $\alpha'$ la disposition est $\alpha<\alpha'<\beta<\beta'$
Si c'est $\beta'$ la disposition est $\alpha'<\alpha<\beta'<\beta$
CQFD ?
Question subsidiaire (dont je n'ai pas la réponse) On dirait que l'on s'intéresse aux racines de $f(x) -f'(x)$ ?
L'exercice (M. Monge 1ère tome 1 1962) est dans un chapitre avant l'étude des limites et des dérivées.
Merci encore pour ta réponse !

@+
Dernière modification par Senior le mardi 07 décembre 2010, 00:42, modifié 1 fois.
Patrick

rebouxo
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Re: Racines de trinômes

Message par rebouxo »

Le th. devient juste si tu prends un polynôme du 2e degré, mais encore fallait-il le préciser du moins j'en suis assez convaincu, mais je n'ai rien écrit. Un argument sur la croissance ou la décroissance devrait suffire à montrer cela.

Pour l'étude du signe, là je reste dubitatif. D'abord la forme que tu utilises me semble fausse (il y a une erreur dans ce que tu écris) et mauvaise (ce n'est pas une bonne idée de développer en général).

Reprenons :$ g(\alpha)\g(\beta) = m(2a\alpha+b)m(2a\beta+b) = m^2(2a\alpha+b)(2a\beta+b)$.

$m^2$ doit avoir le bon goût d'être positif :D . En développant ce qui reste et en utilisant les relations entre coef et racines on trouve rapidement que cette expression est $-\Delta$ donc négative.


Après la conclusion semble aller de soi (avec ton théorème sur les polynômes du 2degré).

Olivier

PS : pour la question subsidiaire, c'est vraiment étonnant comme relation. Il n'y a pas d'interprétation géométrique de cette propriété ?
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lafayette
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Re: Racines de trinômes

Message par lafayette »

Bonsoir, je reviens sur la 1ère question qui n'est pas terminée.
On te demande de démontrer que SI l'équation $f(x)=0$ admet deux solutions ALORS l'équation $g(x)=0$ admet deux solutions ce que tu n'as pas démontré...
Senior a écrit : --- 1ère question ---

$\alpha$ et $\beta$ sont racines/solutions de $f(x)$ uniquement si le discriminant $\Delta$:
$b^2-4ac \ge 0$
Dans ce cas on a :
$\alpha=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
et
$\beta=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
C'est juste !
Ensuite :
Senior a écrit : Concernant $g(x)$:
$g(x)\equiv ax^2+bx+c+m(2ax+b)\Leftrightarrow g(x)\equiv ax^2+x(2am+b)+bm+c$
$\Delta'=(2am+b)^2-4a(bm+c)=b^2+4a(am^2+c)$
D'abord, Il y a une erreur dans ta réduction de $\Delta'$.
Ensuite, on te demande donc de démontrer que si $\Delta=b^2-4ac \ge 0$ alors $\Delta' \ge 0$ ce que tu n'as pas démontré !

Senior
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Re: Racines de trinômes

Message par Senior »

rebouxo a écrit :Le th. devient juste si tu prends un polynôme du 2e degré, mais encore fallait-il le préciser du moins j'en suis assez convaincu, mais je n'ai rien écrit. Un argument sur la croissance ou la décroissance devrait suffire à montrer cela.

Pour l'étude du signe, là je reste dubitatif. D'abord la forme que tu utilises me semble fausse (il y a une erreur dans ce que tu écris) et mauvaise (ce n'est pas une bonne idée de développer en général).
Reprenons :$ g(\alpha)\g(\beta) = m(2a\alpha+b)m(2a\beta+b) = m^2(2a\alpha+b)(2a\beta+b)$.
Oui, j'ai fais une bourde, c'est bien ton expression qui est juste, la mienne est fausse.
rebouxo a écrit :$m^2$ doit avoir le bon goût d'être positif :D En développant ce qui reste et en utilisant les relations entre coef et racines on trouve rapidement que cette expression est $-\Delta$ donc négative.
Attention $\alpha$ et $\beta$ sont les racines de $f(x)$ pas de $g(x)$. Ce sont $\alpha'$ et $\beta'$ qui sont racines de $g(x)$. La relation entre coefficients et racines ne s'applique pas. Mon raisonnement sur le signe de $P$ ne s'applique maintenant qu'à $(2a\alpha+b)(2a\beta+b)$ puisque $m^2$ est positif. Celui-ci est-il toujours valable ?
rebouxo a écrit :Après la conclusion semble aller de soi (avec ton théorème sur les polynômes du 2degré).

Olivier

PS : pour la question subsidiaire, c'est vraiment étonnant comme relation. Il n'y a pas d'interprétation géométrique de cette propriété ?
Je ne sais pas. Mon niveau en maths ne dépasse le BAC, je suis senior et, comme je suis au chômage, je prend du temps pour me remettre à niveau (depuis 6 mois environ). Je pense que mes efforts vont finir par payer, c'est encourageant !

Merci et @+
Patrick

rebouxo
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Re: Racines de trinômes

Message par rebouxo »

$\alpha$ et $\beta$ sont bien les racines du polynôme $f(x)$, on doit bien avoir des relations entre $a$, $b$ et $c$, d'une part et $\alpha$ et $\beta$ de l'autre non ? Il s'agit ici de démontrer que $g(\alpha)\g(\beta)$ est négatif pour ensuite appliquer ton théorème.

On part de $g(\alpha)g(\beta) = m^2(2a\alpha+b)(2a\beta+b)$, on développe, on fait apparaître les relations entre coef et racines pour simplifier, on arrive sur $-\Delta$. Donc $g(\alpha)g(\beta)< 0$, donc les racines de $g$, $\alpha'$ et $\beta'$ sont rangées dans l'ordre $\alpha < \alpha' < \beta < \beta'$.

Concernant ton niveau de math, il dépasse très largement celui d'un très bon élève de terminale S actuel. Bon, il est vrai que ce genre de travail très littéral n'est plus vraiment enseigné, mais bon on va pas les mettre en échec non plus, hein :mrgreen:

Olivier
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Re: Racines de trinômes

Message par Senior »

lafayette a écrit :Bonsoir, je reviens sur la 1ère question qui n'est pas terminée.
On te demande de démontrer que SI l'équation $f(x)=0$ admet deux solutions ALORS l'équation $g(x)=0$ admet deux solutions ce que tu n'as pas démontré...
Senior a écrit : --- 1ère question ---

$\alpha$ et $\beta$ sont racines/solutions de $f(x)$ uniquement si le discriminant $\Delta$:
$b^2-4ac \ge 0$
Dans ce cas on a :
$\alpha=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
et
$\beta=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
C'est juste !
Ensuite :
Senior a écrit : Concernant $g(x)$:
$g(x)\equiv ax^2+bx+c+m(2ax+b)\Leftrightarrow g(x)\equiv ax^2+x(2am+b)+bm+c$
$\Delta'=(2am+b)^2-4a(bm+c)=b^2+4a(am^2+c)$
lafayette a écrit :D'abord, Il y a une erreur dans ta réduction de $\Delta'$.
Une bourde de plus... Oui c'est : $\Delta'=(2am+b)^2-4a(bm+c)=b^2+4a(am^2-c)
$
lafayette a écrit :Ensuite, on te demande donc de démontrer que si $\Delta=b^2-4ac \ge 0$ alors $\Delta' \ge 0$ ce que tu n'as pas démontré !
Tout à fait et j'ai trouvé !
D'abord on remarque : $\Delta'=\Delta+4a^2m^2$
J'en déduis que :
$b^2-4ac\ge0 \Rightarrow b^2-4ac+4a^2m^2\ge 4a^2m^2 \Rightarrow \Delta'\ge 4a^2m^2$
Mais, $4a^2m^2\ge 0$ est tjrs vérifié, alors $\Delta'\ge0$. CQFD !

Merci et @+
Patrick

deratcosac
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Re: Racines de trinômes

Message par deratcosac »

1°)
$f(x)=ax^2+bx+c$
$\Delta_f=b^2-4ac$
$g(x)=f(x)+m(2ax+b)=ax^2+(b+2am)x+(c+bm)$
$\Delta_g=(b+2am)^2-4a(c+bm)=b^2+4a^2m^2+4amb-4ac-4amb=b^2+4a^2m^2-4ac=\Delta_f+4a^2m^2$
$$\Delta_g=\Delta_f+4a^2m^2$$
f a des racines donc $\Delta_f \ge 0$
$4a^2m^2 \ge 0$ donc $\Delta_g=\Delta_f+4a^2m^2 \ge 0$
$\Delta_g \ge 0$ donc g a des racines.

2°)
$P=g(\alpha)g(\beta)=(f(\alpha)+m(2\alpha+b))(f(\beta)+m(2\beta+b))=(0+m(2\alpha+b))(0+m(2\beta+b))$
$P=m^2(4a^2\alpha\beta+2ab(\alpha+\beta)+b^2)$
$\alpha$ et $\beta$ sont les racines de f(x), d'où $\alpha\beta=c \div a$ , $\alpha + \beta=-b \div a$
$$P=m^2(4ac-b^2)=-m^2(\Delta_f)$$
P est toujours négatif puisque $\Delta_f$ et $m^2$ sont positifs.
Ceci signifie que $g(\alpha)$ est du signe contraire de $g(\beta)$, l'une est à l'intérieur et l'autre à l'extérieur des racines $\alpha'$ et $\beta'$ de g(x). Pour mémoire, g(x) est du signe de a sauf entre racines de $\Delta$.
Deux cas possibles : $\alpha$, $\alpha'$, $\beta$, $\beta'$ ou $\alpha'$, $\alpha$, $\beta'$, $\beta$
Pour déterminer dans quel ordre, la somme des racines peut être utile.
$\alpha$ et $\beta$ sont les racines de f(x), d'où $P=\alpha\beta=c \div a$ , S=$\alpha + \beta=-b \div a$
$\alpha'$ et $\beta'$ sont les racines de g(x), d'où $P'=\alpha'\beta'=(c+bm) \div a=c \div a + mb \div a$ , $S'=\alpha' + \beta'=-(b+2am) \div a=-b \div a - 2m$
$P'=P-mS$
$S'=S-2m$

$S'=S-2m$ signifie que S' est > que S si m est < 0 et inversement.

Voilà ma conclusion :
m < 0, l'ordre est $\alpha$, $\alpha'$, $\beta$, $\beta'$ (S' est > que S)
m > 0, l'ordre est $\alpha'$, $\alpha$, $\beta'$, $\beta$ (S est > que S')
Dernière modification par guiguiche le dimanche 22 mai 2016, 09:38, modifié 1 fois.
Raison : \Delta à la place de delta