Trinômes et division harmonique

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Senior
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Trinômes et division harmonique

Message par Senior »

Salut à tous/toutes,

Ce DM est un problème sur le thème du second degré mais aussi, à la fin, de la relation harmonique entre des points.
Les courbes demandées sont traçées, à l'aide de Geogebra, sur un même graphique. Je vous remercie beaucoup par avance pour la lecture un peu longue et la correction des calculs et, surtout, de la logique :bowdown:

--- Enoncé ---
1°) On considère la fonction : $y=ax^2+bx+c$ où $x$ est la variable, et la courbe $P_0$ représentative des variations de cette fonction dans un système d'axes perpendiculaires.
- Déterminer les coefficients $a$, $b$, $c$ pour que la courbe $P_0$ ait pour sommet le point $S(-\dfrac{1}{2};-\dfrac{9}{4})$ et passe par le point $A(-1;-2)$. Construire cette courbe.
2°) Construire, sur le même graphique que la courbe $P_0$, la courbe $P_1$ représentative des variations de la fonction : $y=-x^2-2x+3$.
- Calculer les corrdonnées des points $\{M;N\}=P_0 \cap P_1$.
3°) Soient la fonction $y=(1-2m)x^2-(3m-1)x+5m-2$ (1), où $x$ est la variable, $m$ un paramètre, et $P$ la courbe représentative des variations de cette fonction dans le même système d'axes que les courbes $P_0$ et $P_1$.
- Montrer que, $\forall m \in R$, on a $\{M;N\}\in P$.
4°) Soit $D$ la droite d'équation : $y=+1$.
- Montrer que, $\forall m \in R$, on a $P \cap D=\{H;K\}$, où $H$ et $K$ sont 2 points distincts.
- Montrer qu'il existe entre les abscisses des points $H$ et $K$ une relation indépendante de $m$.
- En déduire que, $\forall m \in R$, les points $H$ et $K$ sont conjugués harmoniques par rapport à 2 points fixes que l'on précisera.

--- Corrigé ---
- 1°) Pour déterminer les 3 coefficients a, b, c, je dois avoir/résoudre un système de 3 équations à 3 inconnues, les coefficients.
Rappel du cours : l'abscisse du sommet d'une parabole est : $x_S=-\dfrac{b}{2a}$.
1ère équation associée au point $A(-1;-2)$: $a(-1)^2+b(-1)+c=-2$;
2ème équation associée au sommet $S(-\dfrac{1}{2};-\dfrac{9}{4})$: $a(-\dfrac{1}{2})^2+b(-\dfrac{1}{2})+c=-\dfrac{9}{4}$;
3ème équation associée autrement au sommet : $-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 2b=2a$.
Je rassemble le tout dans le système suivant :

$\left\{
\begin{array}{rcr}
a-b+c&=&-2\\
a-2b+4c&=&-9\\
b&=&a\\
\end{array}
\right.$

pour obtenir facilement les valeurs des 3 coefficients : $a=1, b=1, c=-2$ et la fonction associée : $y=x^2+x-2$.

- 2°) Calcul des points $\{M;N\}$.
Rappel de cours : les solutions de l'équation $f(x)=g(x)$ sont les abscisses des points d'intersections de $C_f$ et $C_g$, les courbes représentatives de $f$ et $g$.
En transposant, $\{M;N\}=P_0 \cap P_1\Leftrightarrow y=x^2+x-2=-x^2-2x+3\Leftrightarrow 2x^2+3x-5=0\Leftrightarrow (x-1)(2x+5)=0$.
Les abscisses des points $\{M;N\}$ sont : $x_M=1$ et $x_N=-\dfrac{5}{2}$ et, après calcul de la valeur des ordonnées :
Voici les coordonnées des points demandées : $M(1;0)$ et $N(-\dfrac{5}{2};-\dfrac{7}{4})$.
Pour prouver que $\{M;N\}\in P$, je réécris l'équation (1) en $m$ sous la forme suivante : $(x^2+x-2)+m(-2x^2-3x+5)=0$ pour faire apparaître, ainsi, les équations de $P_0$ et $P_1$ (au signe près) mais avec les mêmes racines. CQFD ?

3°) $P \cap D$ représente l'équation qui vérifie $(1-2m)x^2-(3m-1)x+5m-2=1$ (2), dont les solutions sont les abscisses des points $\{H;K\}$.
Examinons le discriminant de cette équation :
$\Delta=[-(3m-1)]^2-4(1-2m)(5m-3)=9m^2-6m+1-4(5m-3-10m^2+6m)=49m^2-50m+13$
$\Delta$ est toujours positif quelque soit $m$, car le discriminant "secondaire" $\Delta_m$ est négatif. En effet, l'expression en $m$ de $\Delta$ n'a pas de solutions et, dans ce cas là, est du signe du coefficient en $m^2$, ici 49. J'en déduis que les points $\{H;K\}$ seront toujours distincts ! CQFD ?

4°) Rappel du cours : les relations entre les coefficients et les racines d'un trinôme sont : $x'x''=\dfrac{c}{a}$ et $x'+x''=-\dfrac{b}{a}$.
Je transpose ces relations aux abscisses des points $\{H;K\}$ solutions de (2) et j'obtiens :
$x_Hx_K=\dfrac{5m-3}{1-2m}$ et $x_H+x_K=\dfrac{3m-1}{1-2m}$ et la seule relation indépendante de $m$ que je trouve est :
$x_Hx_K+(x_H+x_K)\Leftrightarrow \dfrac{5m-3}{1-2m}+\dfrac{3m-1}{1-2m}=-4$. CQFD ?

Cependant, je n'arrive pas conclure ce problème, car je bloque sur la dernière question traitant de la relation harmonique. En effet, même si j'ai trouvé sur le Web une page (http://serge.mehl.free.fr/anx/div_harmo.html) qui traite très bien du sujet, je ne sais pas comment appliquer ici !
Merci de donner une piste, un os à ronger... :mrgreen:

@+
Courbes.png
Vous ne pouvez pas consulter les pièces jointes insérées à ce message.
Dernière modification par Senior le vendredi 17 décembre 2010, 21:01, modifié 3 fois.
Patrick

rebouxo
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Re: Problème : trinômes et relation harmonique

Message par rebouxo »

Ta relation indépendante de $m$ n'est pas correcte. C'est $\dfrac{-4}{1-2m}$.

Olivier
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Re: Problème : trinômes et relation harmonique

Message par Senior »

rebouxo a écrit :Ta relation indépendante de $m$ n'est pas correcte. C'est $\dfrac{-4}{1-2m}$.
Merci bcp pour ta réponse. On parle de la même équation (2) associée à $P \cap D$ dans la 3ème partie ? Je détaille ce que j'ai fais...
$(1-2m)x^2-(3m-1)x+5m-2=1\Leftrightarrow (1-2m)x^2-(3m-1)x+5m-3=0$ avec $m\ne\dfrac{1}{2}$.
La somme et le produit des racines de (2) sont tirées des relations avec les coefficients (cf rappel du cours) avec :

$a=1-2m$, $b=-(3m-1)$ et $c=5m-3$ et je trouve :

$x_Hx_K+(x_H+x_K)=\dfrac{5m-3}{1-2m}+[-\dfrac{-(3m-1)}{1-2m}]=\dfrac{5m-3}{1-2m}+\dfrac{3m-1}{1-2m}$
$=\dfrac{5m-3+3m-1}{1-2m}=\dfrac{8m-4}{1-2m}=\dfrac{-4(1-2m)}{1-2m}=-4$.

C'est bien le même résultat indépendant de $m$. A quoi pensais-tu pour ton résultat, merci ?
Ceci dit, je souhaite savoir si j'ai répondu correctement aux questions posées, c-a-d (aussi) la logique (cf CQFD ?) et puis je sèche sur la dernière question de la division harmonique :(

Merci d'avance bcp pour les réponses,
@+ :bye1:
Dernière modification par Senior le mercredi 22 décembre 2010, 15:12, modifié 3 fois.
Patrick

rebouxo
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Re: Problème : trinômes et relation harmonique

Message par rebouxo »

Heu oui, j'ai lu trop vite. Tu as raison.

3. La question est beaucoup plus simple que ce que tu fais. On te demande de montrer que $M$ et $N$ appartiennent à $P$ (ce qui ne semble pas le cas sur ton graphique ?). Il suffit de vérifier que les coordonnées de $M$ et $N$ vérifient $(1)$ : soit que $(1-2m) \times 1^2 - (3m-1) \times 1 + 5m - 2$ est bien égale à $0$. De même pour $N$. Ce que tu fais me semble bien compliqué et assez confus. Comment une fois que tu a montré que $(x^2+x-2)+m(-2x^2-3x+5)=0$ reviens-tu à $M$ et $N$ ?

4. Je trouve ta manière de rédiger un peu lourde. J'écrirais :
$P \cap D$ entraîne $(1-2m)x^2 -(3m-1)x +5m-2 = 1$. (remarque à ce moment là $H$ et $K$ sont très hypothètique, l'équation peut très bien ne pas avoir de solution...).
Le discriminant est $\Delta = 49m^2 -50m +13$, qui est un polynôme en $m$ dont le discriminant est négatif. $\Delta$ est donc positif. Donc l'équation (2) admet deux solutions distinctes.(remarque $\Delta_m=0$, qui est une équation, n'a pas de solution, mais $\Delta_m$, qui est un polynôme n'a pas de racines).

Pour la division harmonique, je :arrow:
Olivier
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Re: Problème : trinômes et relation harmonique

Message par Senior »

rebouxo a écrit :Heu oui, j'ai lu trop vite. Tu as raison.

3. La question est beaucoup plus simple que ce que tu fais. On te demande de montrer que $M$ et $N$ appartiennent à $P$ (ce qui ne semble pas le cas sur ton graphique ?). Il suffit de vérifier que les coordonnées de $M$ et $N$ vérifient $(1)$ : soit que $(1-2m) \times 1^2 - (3m-1) \times 1 + 5m - 2$ est bien égale à $0$.
Mais oui, lorsque c'est simple il ne faut pas se compliquer la vie :-D
Aussi, j'ai corrigé la courbe de $P$.
rebouxo a écrit :De même pour $N$. Ce que tu fais me semble bien compliqué et assez confus. Comment une fois que tu a montré que $(x^2+x-2)+m(-2x^2-3x+5)=0$ reviens-tu à $M$ et $N$ ?
<mode="bizarre">Les solutions de $(-2x^2-3x+5)=0$ sont des abscisses pour : $N=1$ et $M=-\dfrac{5}{2}$, valeurs que j'injecte ensuite dans $(x^2+x-2)$ pour obtenir les ordonnées pour $N=0$ et $N=-\dfrac{9}{4}$.</bizarre>
rebouxo a écrit :4. Je trouve ta manière de rédiger un peu lourde. J'écrirais :
$P \cap D$ entraîne $(1-2m)x^2 -(3m-1)x +5m-2 = 1$. (remarque à ce moment là $H$ et $K$ sont très hypothètique, l'équation peut très bien ne pas avoir de solution...).
Le discriminant est $\Delta = 49m^2 -50m +13$, qui est un polynôme en $m$ dont le discriminant est négatif. $\Delta$ est donc positif. Donc l'équation (2) admet deux solutions distinctes.(remarque $\Delta_m=0$, qui est une équation, n'a pas de solution, mais $\Delta_m$, qui est un polynôme n'a pas de racines).
C'est ce que voulais dire, mais en + clair, Merci :wink:
rebouxo a écrit :Pour la division harmonique, je :arrow:
Si quelqu'un sait ou se souvient...

Merci et @+
Patrick

balf
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Re: Problème : trinômes et division harmonique

Message par balf »

Pour la division harmonique, il faut utiliser la relation de Chasles entre les abscisses des points H, K et des points fixes A, B que l'on cherche : $2x_H x_K+2x_A x_B=(x_H+x_K)(x_A+x_B)$.
Ceci étant, la relation indépendante de m est de la forme : $x_H x_K+(x_H+x_K)=$ constante. Il suffit alors d'écrire que, à un coefficient de proportionnalité près, ces relations sont les mêmes, ce qui permet de trouver $x_H+x_K=\dots$, $x_Hx_K=\dots$, et nous ramène à un problème classique.

B.A.

balf
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Re: Problème : trinômes et division harmonique

Message par balf »

Coquille à la fin de ma réponse : on trouve évidemment $x_A+x_B=\dots$ et $x_Ax_B=\dots$.

B;A.

rebouxo
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Re: Problème : trinômes et relation harmonique

Message par rebouxo »

Senior a écrit :<mode="bizarre">Les solutions de $(-2x^2-3x+5)=0$ sont des abscisses pour : $N=1$ et $M=-\dfrac{5}{2}$, valeurs que j'injecte ensuite dans $(x^2+x-2)$ pour obtenir les ordonnées pour $N=0$ et $N=-\dfrac{9}{4}$.</bizarre>
Heu pas convaincu. Je ne dis pas que c'est faux. Je dis que je ne comprends pas. C'est l'approche de Noël et j'ai un chouia arrosé ce départ en vacances, peut-être est-ce un lien...

Olivier
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Re: Problème : trinômes et division harmonique

Message par Senior »

@ Olivier : Et bien, j'applique une méthode utilisée dans un autre exercice "publié" sur ce forum. Ce n'est pas du cours, ni un théorême, mais juste un fait (juste ?) vérifié : viewtopic.php?t=11972. Lorsque les coefficients sont exprimés avec un paramètre de façon linéaire, çà marche (bien), vérifié plusieurs fois avec Geogebra et testé sur plusieurs exemples. Je sais, c'est de la cuisine :lol:

@ B.A. : je tatonne encore, même si j'ai trouvé aussi une explication ici : http://www.ilemaths.net/forum-sujet-289399.html.
En fait, la question que je me pose est la suivante : partons de 4 points ($x_H$,$x_K$, $x_A$, $x_B$) disposés sur un axe et je dis :
$x_H$, $x_K$ divisent harmoniquement $x_A$, $x_B$, celà signifie que $x_H$ et $x_K$ sont conjugués harmonique par rapport à $x_A$ et $x_B$.
Si je permutte $x_H$, $x_K$ avec $x_A$, $x_B$, la proposition est toujours vraie ? Si oui, j'en déduis aussi que : $x_Ax_B+(x_A+x_B)=-4$ !?
Je cherche à établir un petit système d'équations avec la relation de Chasles, $x_A$ et $x_B$ 2 inconnues à trouver. Bonne piste ?

Merci pour vos réponses,
@+ :bye1:
Patrick

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Re: Problème : trinômes et division harmonique

Message par balf »

Quelle proposition est toujours vraie ? Et l'on permute dans quelle relation ? De toute façon, la déduction est fausse.
Je crois que vous compliquez pour pas grand-chose. Il s'agit d'identifier la relation obtenue, indépendante de m : $x_Hx_K + x_H+x_K=-4$, avec le relation de Chasles (à un coefficient de proportionnalité près).

B.A.

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Re: Problème : trinômes et division harmonique

Message par Senior »

balf a écrit :Quelle proposition est toujours vraie ? Et l'on permute dans quelle relation ? De toute façon, la déduction est fausse.
Je crois que vous compliquez pour pas grand-chose. Il s'agit d'identifier la relation obtenue, indépendante de m : $x_Hx_K + x_H+x_K=-4$, avec le relation de Chasles (à un coefficient de proportionnalité près.
Merci pour la réponse, mais je n'arrive pas à identifier les 2 expressions et, surtout, je ne vois comment partir de çà trouver $x_A$ et $x_B$ :no:

@+
Patrick

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Re: Problème : trinômes et division harmonique

Message par balf »

Écrivez la relation de Chasles avec $x_H, x_K, X_A, x_B$ et récrivez -la de façon qu'elle ressemble à $\alpha x_Hx_K+\beta (x_H+x_K)=$ constante. Vous ne voyez pas comment identifier une telle relation avec $x_Hx_K + x_H+x_K=-4$ ?

B.A.

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Re: Problème : trinômes et division harmonique

Message par rebouxo »

Senior a écrit :@ Olivier : Et bien, j'applique une méthode utilisée dans un autre exercice "publié" sur ce forum. Ce n'est pas du cours, ni un théorême, mais juste un fait (juste ?) vérifié : viewtopic.php?t=11972. Lorsque les coefficients sont exprimés avec un paramètre de façon linéaire, çà marche (bien), vérifié plusieurs fois avec Geogebra et testé sur plusieurs exemples. Je sais, c'est de la cuisine :lol:
Dis comme cela c'est plus clair. tu as un polynômes en $m$ et tu identifie les coefficients. Bon je pense que c'était des brumes z'alcoool'hic

Olivier
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Re: Problème : trinômes et division harmonique

Message par Senior »

balf a écrit :Écrivez la relation de Chasles avec $x_H, x_K, X_A, x_B$ et récrivez -la de façon qu'elle ressemble à $\alpha x_Hx_K+\beta (x_H+x_K)=$ constante. Vous ne voyez pas comment identifier une telle relation avec $x_Hx_K + x_H+x_K=-4$ ?
$2x_H x_K+2x_A x_B=(x_H+x_K)(x_A+x_B)\Leftrightarrow -2x_H x_K+(x_H+x_K)(x_A+x_B)=2x_A x_B$.
Sous cette forme voici mon interprétation : $\alpha=-2$, $\beta=x_A+x_B$ et $2x_A x_B= cte =-4$.
C'est bon ?

Merci et @+
Patrick

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Re: Trinômes et division harmonique

Message par balf »

Il y a une petite erreur : on a bien constante =2$x_Ax_B$, mais les coefficients ne sont pas égaux à ceux de l'autre relation, ils sont proportionnels.

B.A.

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Re: Trinômes et division harmonique

Message par Senior »

balf a écrit :Il y a une petite erreur : on a bien constante =2$x_Ax_B$, mais les coefficients ne sont pas égaux à ceux de l'autre relation, ils sont proportionnels.
J'ai passé plus d'une heure pour pondre celà :
$-2\alpha=\beta(x_A+x_B)$ et $2x_Ax_B=cte$
La division harmonique faut croire que je n'arrive pas à l'imaginer. Langue au chat... :worthy:

Merci et @+
PS : le fil/sujet est (déjà) référençé par Google, je vais devoir rajouter "en cours..." ou "wait..." dans le titre :mrgreen:
Patrick

balf
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Re: Trinômes et division harmonique

Message par balf »

Je me suis mal fait comprendre : la relation $\alpha x_Hx_K+\beta (x_H+x_K)=$ constante est une donnée (les valeurs de $\alpha$, etc. sont fournies par la relation de Chasles en fonction de $x_A$ et $x_B$). Il s'agit d'identifier cette relation de Chasles à la relation indépendante de m entre $x_H$ et $x_K$ que vous avez obtenue, ce qui n'est qu'un problème proportionnalité. Après quoi vous obtiendrez $x_A+x_B=\dots$ et $x_Ax_B=\dots$, ce qui permet de calculer $x_A$ et $x_B$.

B.A.

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Re: Trinômes et division harmonique

Message par Senior »

Je reprends à partir des 2 expressions initiales :
$\left\{
\begin{array}{rcr}
(x_H+x_K)(x_A+x_B)&=&2(x_Hx_K+x_Ax_B)\\
x_Hx_K+x_H+x_K&=&-4\\
\end{array}
\right.$
J'en déduis ceci en remplaçant $x_Hx_K$ :
$\left\{
\begin{array}{rcr}
(x_H+x_K)(x_A+x_B)+2[4+(x_H+x_K)]&=&2x_Ax_B\\
x_Hx_K&=&-(4+x_H+x_K)\\
\end{array}
\right.$
Puis en factorisant par $(x_H+x_K)$ :
$\left\{
\begin{array}{rcr}
(x_H+x_K)(x_A+x_B+2)&=&2(x_Ax_B-4)\\
x_Hx_K&=&-(4+x_H+x_K)\\
\end{array}
\right.$
Maintenant que la relation de Chasles est "conditionnée" avec/par l'expression indépendante de $m$, je remarque ceci :
$x_A+x_B+2$ et $x_Ax_B-4$ => une somme et un produit; mais... je ne vois pas (encore) la proportionnalité :(

Merci et @+
Patrick

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Re: Trinômes et division harmonique

Message par balf »

Le truc est de ne pas remplacer $x_Hx_K$, mais d'écrire les deux relations (Chasles et l'autre) sous une forme comparable. Quand on veut exprimer que les équations ax+by=c et a'x+b'y=c' représentent la même droite, que fait-on ?

B.A.

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Re: Trinômes et division harmonique

Message par Senior »

balf a écrit :Le truc est de ne pas remplacer $x_Hx_K$, mais d'écrire les deux relations (Chasles et l'autre) sous une forme comparable. Quand on veut exprimer que les équations ax+by=c et a'x+b'y=c' représentent la même droite, que fait-on ?
On identifie les coefficients pour les rendre égaux entre homologues : $a=a'$, $b=b'$ et $c=c'$. Mais, dans ce cas là, je ne vois pas du tout comment le faire, elles sont trop dissemblables.

Merci et @+
Patrick