Ce DM est un problème sur le thème du second degré mais aussi, à la fin, de la relation harmonique entre des points.
Les courbes demandées sont traçées, à l'aide de Geogebra, sur un même graphique. Je vous remercie beaucoup par avance pour la lecture un peu longue et la correction des calculs et, surtout, de la logique :bowdown:
--- Enoncé ---
1°) On considère la fonction : $y=ax^2+bx+c$ où $x$ est la variable, et la courbe $P_0$ représentative des variations de cette fonction dans un système d'axes perpendiculaires.
- Déterminer les coefficients $a$, $b$, $c$ pour que la courbe $P_0$ ait pour sommet le point $S(-\dfrac{1}{2};-\dfrac{9}{4})$ et passe par le point $A(-1;-2)$. Construire cette courbe.
2°) Construire, sur le même graphique que la courbe $P_0$, la courbe $P_1$ représentative des variations de la fonction : $y=-x^2-2x+3$.
- Calculer les corrdonnées des points $\{M;N\}=P_0 \cap P_1$.
3°) Soient la fonction $y=(1-2m)x^2-(3m-1)x+5m-2$ (1), où $x$ est la variable, $m$ un paramètre, et $P$ la courbe représentative des variations de cette fonction dans le même système d'axes que les courbes $P_0$ et $P_1$.
- Montrer que, $\forall m \in R$, on a $\{M;N\}\in P$.
4°) Soit $D$ la droite d'équation : $y=+1$.
- Montrer que, $\forall m \in R$, on a $P \cap D=\{H;K\}$, où $H$ et $K$ sont 2 points distincts.
- Montrer qu'il existe entre les abscisses des points $H$ et $K$ une relation indépendante de $m$.
- En déduire que, $\forall m \in R$, les points $H$ et $K$ sont conjugués harmoniques par rapport à 2 points fixes que l'on précisera.
--- Corrigé ---
- 1°) Pour déterminer les 3 coefficients a, b, c, je dois avoir/résoudre un système de 3 équations à 3 inconnues, les coefficients.
Rappel du cours : l'abscisse du sommet d'une parabole est : $x_S=-\dfrac{b}{2a}$.
1ère équation associée au point $A(-1;-2)$: $a(-1)^2+b(-1)+c=-2$;
2ème équation associée au sommet $S(-\dfrac{1}{2};-\dfrac{9}{4})$: $a(-\dfrac{1}{2})^2+b(-\dfrac{1}{2})+c=-\dfrac{9}{4}$;
3ème équation associée autrement au sommet : $-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 2b=2a$.
Je rassemble le tout dans le système suivant :
$\left\{
\begin{array}{rcr}
a-b+c&=&-2\\
a-2b+4c&=&-9\\
b&=&a\\
\end{array}
\right.$
pour obtenir facilement les valeurs des 3 coefficients : $a=1, b=1, c=-2$ et la fonction associée : $y=x^2+x-2$.
- 2°) Calcul des points $\{M;N\}$.
Rappel de cours : les solutions de l'équation $f(x)=g(x)$ sont les abscisses des points d'intersections de $C_f$ et $C_g$, les courbes représentatives de $f$ et $g$.
En transposant, $\{M;N\}=P_0 \cap P_1\Leftrightarrow y=x^2+x-2=-x^2-2x+3\Leftrightarrow 2x^2+3x-5=0\Leftrightarrow (x-1)(2x+5)=0$.
Les abscisses des points $\{M;N\}$ sont : $x_M=1$ et $x_N=-\dfrac{5}{2}$ et, après calcul de la valeur des ordonnées :
Voici les coordonnées des points demandées : $M(1;0)$ et $N(-\dfrac{5}{2};-\dfrac{7}{4})$.
Pour prouver que $\{M;N\}\in P$, je réécris l'équation (1) en $m$ sous la forme suivante : $(x^2+x-2)+m(-2x^2-3x+5)=0$ pour faire apparaître, ainsi, les équations de $P_0$ et $P_1$ (au signe près) mais avec les mêmes racines. CQFD ?
3°) $P \cap D$ représente l'équation qui vérifie $(1-2m)x^2-(3m-1)x+5m-2=1$ (2), dont les solutions sont les abscisses des points $\{H;K\}$.
Examinons le discriminant de cette équation :
$\Delta=[-(3m-1)]^2-4(1-2m)(5m-3)=9m^2-6m+1-4(5m-3-10m^2+6m)=49m^2-50m+13$
$\Delta$ est toujours positif quelque soit $m$, car le discriminant "secondaire" $\Delta_m$ est négatif. En effet, l'expression en $m$ de $\Delta$ n'a pas de solutions et, dans ce cas là, est du signe du coefficient en $m^2$, ici 49. J'en déduis que les points $\{H;K\}$ seront toujours distincts ! CQFD ?
4°) Rappel du cours : les relations entre les coefficients et les racines d'un trinôme sont : $x'x''=\dfrac{c}{a}$ et $x'+x''=-\dfrac{b}{a}$.
Je transpose ces relations aux abscisses des points $\{H;K\}$ solutions de (2) et j'obtiens :
$x_Hx_K=\dfrac{5m-3}{1-2m}$ et $x_H+x_K=\dfrac{3m-1}{1-2m}$ et la seule relation indépendante de $m$ que je trouve est :
$x_Hx_K+(x_H+x_K)\Leftrightarrow \dfrac{5m-3}{1-2m}+\dfrac{3m-1}{1-2m}=-4$. CQFD ?
Cependant, je n'arrive pas conclure ce problème, car je bloque sur la dernière question traitant de la relation harmonique. En effet, même si j'ai trouvé sur le Web une page (http://serge.mehl.free.fr/anx/div_harmo.html) qui traite très bien du sujet, je ne sais pas comment appliquer ici !
Merci de donner une piste, un os à ronger...
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