intervalle de fluctuation

Aide à la résolution d'exercices de mathématiques de tout niveau scolaire.
[participation réservée aux utilisateurs inscrits]
Règles du forum
Merci de soigner la rédaction de vos messages et de consulter ce sujet avant de poster. Pensez également à utiliser la fonction recherche du forum.
zariski63
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 525
Inscription : jeudi 14 octobre 2010, 09:20
Statut actuel : Enseignant
Localisation : Clermont-Ferrand

intervalle de fluctuation

Message non lu par zariski63 »

Bonjour !
Voici mon soucis : Le fichier "excel" joint permet de simuler le lancer d'une pièce.
On effectue 50 simulations de 100 lancers chacune et je calcule la fréquence d'apparition de "Pile".
Mon intervalle de fluctuation étant [0.4 ; 0.6], je compte le nombre de fréquence en dehors de cet intervalle...
Puis je relance les calculs avec la touche F9.
Tout semble bien fonctionner sauf que la propriété de l'intervalle de fluctuation dit:
on dois trouver au moins 95% des fréquences dans cet intervalle !!!
C'est là mon soucis : la plupart du temps je trouve 95 % et plus mais parfois apparait 94 % voire 90 % !!!!!
Quel est le problème ? Ou alors j'ai mal compris la propriété !

ps : je ne peux pas charger le fichier Excel donc j'ai fait un montage en .jpeg .... pas terrible
Pièces jointes
mon soucis.jpg
evariste_G
Utilisateur chevronné
Utilisateur chevronné
Messages : 1481
Inscription : vendredi 19 décembre 2008, 19:13
Statut actuel : Enseignant
Localisation : Bordeaux
Contact :

Re: intervalle de fluctuation

Message non lu par evariste_G »

Bonsoir.
Il me semble que $n=50$ non ? Comment calcules-tu l'intervalle de fluctuation ?
En prenant la formule de Seconde, on a : $$ \left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}};p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]\approx[0,358 ; 0,641]$$
Mathématiques, LaTeX et Python : https://www.mathweb.fr
Cours particuliers de maths par webcam: https://courspasquet.fr
Trouver un vrai prof pour des cours particuliers: https://lesvraisprofs.mathweb.fr/
zariski63
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 525
Inscription : jeudi 14 octobre 2010, 09:20
Statut actuel : Enseignant
Localisation : Clermont-Ferrand

Re: intervalle de fluctuation

Message non lu par zariski63 »

houlà un grros doute s'installe ...
Il est clair qu'avec n=50, ça passe !
Le hic c'est qu'il me semble que n est le nombre de lancer (soit 100) pour chaque simulation (au nombre de 50) ...
Pfiouuuuu pas simple
evariste_G
Utilisateur chevronné
Utilisateur chevronné
Messages : 1481
Inscription : vendredi 19 décembre 2008, 19:13
Statut actuel : Enseignant
Localisation : Bordeaux
Contact :

Re: intervalle de fluctuation

Message non lu par evariste_G »

Non, $n$ représente le nombre de simulations ... 100 n'est là que pour calculer les fréquences pour chaque lancer.
Mathématiques, LaTeX et Python : https://www.mathweb.fr
Cours particuliers de maths par webcam: https://courspasquet.fr
Trouver un vrai prof pour des cours particuliers: https://lesvraisprofs.mathweb.fr/
zariski63
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 525
Inscription : jeudi 14 octobre 2010, 09:20
Statut actuel : Enseignant
Localisation : Clermont-Ferrand

Re: intervalle de fluctuation

Message non lu par zariski63 »

ah !? ben certains livres comportent alors de graves erreurs !!!!!
Il est clair que dans ce cas là ça me convient !
evariste_G
Utilisateur chevronné
Utilisateur chevronné
Messages : 1481
Inscription : vendredi 19 décembre 2008, 19:13
Statut actuel : Enseignant
Localisation : Bordeaux
Contact :

Re: intervalle de fluctuation

Message non lu par evariste_G »

Je viens de jeter à nouveau un coup d'oeil sur les cours du CNED et en effet, il semblerait que $n$ désigne le nombre de lancers par simulation. Donc, je me suis trompé dans mes messages précédents.
En effet, si $X_n$ représente la variable aléatoire représentant le nombre de "pile" par exemple, $X_n$ suit la loi $\mathcal{B}(n;0,5)$ et la v.a. $F_n=\frac{X_n}{n}$ représente la fréquence. En théorie, un intervalle de fluctuation au seuil de 95% est un intervalle dans lequel la fréquence doit être avec une proba. de 0,95 au moins. Et c'est vrai qu'en construisant une simulation sur tableur, je constate aussi que certaines fois, la proba. est inférieure ... Je ne saurais pas expliquer cela, je n'ai pas encore assez de recul sur cette notion.

EDIT : en fait, tout vient de l'interprétation que l'on donne aux résultats. Ici, ils signifient que, pour environ 95 % des séries de 100 lancers, la fréquence du nombre de « pile »
obtenus se situe dans l’intervalle [0,4 ; 0,6].
Dernière modification par evariste_G le samedi 17 août 2013, 00:25, modifié 1 fois.
Mathématiques, LaTeX et Python : https://www.mathweb.fr
Cours particuliers de maths par webcam: https://courspasquet.fr
Trouver un vrai prof pour des cours particuliers: https://lesvraisprofs.mathweb.fr/
zariski63
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 525
Inscription : jeudi 14 octobre 2010, 09:20
Statut actuel : Enseignant
Localisation : Clermont-Ferrand

Re: intervalle de fluctuation

Message non lu par zariski63 »

ouf me voilà rassuré quant aux lectures des livres...
Je ne voulais pas vous contredire mais j'émettais de sérieux doutes ... mais bon c'est tellement agréable que quelqu'un réponde !
Donc vous avez constaté le même problème ! c'est délirant ce truc !!!!!
evariste_G
Utilisateur chevronné
Utilisateur chevronné
Messages : 1481
Inscription : vendredi 19 décembre 2008, 19:13
Statut actuel : Enseignant
Localisation : Bordeaux
Contact :

Re: intervalle de fluctuation

Message non lu par evariste_G »

Je viens de faire une recherche et j'ai édité mon précédent message. Les statistiques ne sont pas une science exacte et on peut juste dire qu'environ 95% des fréquences doivent être dans l'intervalle. Et c'est vrai que dans la grande majorité des essais, c'est le cas. Et quand ça ne l'est pas, ce n'est pas très éloigné (je trouve 92% mais pas souvent et il est fort envisageable d'aller jusqu'à 90% mais tu ne dois pas obtenir cette valeur souvent non ?).
Mathématiques, LaTeX et Python : https://www.mathweb.fr
Cours particuliers de maths par webcam: https://courspasquet.fr
Trouver un vrai prof pour des cours particuliers: https://lesvraisprofs.mathweb.fr/
zariski63
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 525
Inscription : jeudi 14 octobre 2010, 09:20
Statut actuel : Enseignant
Localisation : Clermont-Ferrand

Re: intervalle de fluctuation

Message non lu par zariski63 »

en effet je l'ai constaté mais alors comment expliquer la chose aux élèves ?
evariste_G
Utilisateur chevronné
Utilisateur chevronné
Messages : 1481
Inscription : vendredi 19 décembre 2008, 19:13
Statut actuel : Enseignant
Localisation : Bordeaux
Contact :

Re: intervalle de fluctuation

Message non lu par evariste_G »

L'honnêteté prime :-) Il faut juste leur dire que ce n'est qu'une approximation.
En fait, en Terminale, on montre que $P(-1,96\leqslant X\leqslant 1,96)\approx0,95$ si $X$ suit une loi normale et donc, un intervalle de fluctuation est $\left[p-1,96\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}};p+1,96\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]$ et avec cette formule, on obtient pour ton exemple [0,402;0,598] et là, c'est pire !
Mathématiques, LaTeX et Python : https://www.mathweb.fr
Cours particuliers de maths par webcam: https://courspasquet.fr
Trouver un vrai prof pour des cours particuliers: https://lesvraisprofs.mathweb.fr/
zariski63
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 525
Inscription : jeudi 14 octobre 2010, 09:20
Statut actuel : Enseignant
Localisation : Clermont-Ferrand

Re: intervalle de fluctuation

Message non lu par zariski63 »

ok ok !
Mais qu'est ce que je me suis pris la tête avec cette énigme !!!!!
Pour dire vrai, ce cours m'emm..... ferme tant on peut dire des âneries !!!!!!!
evariste_G
Utilisateur chevronné
Utilisateur chevronné
Messages : 1481
Inscription : vendredi 19 décembre 2008, 19:13
Statut actuel : Enseignant
Localisation : Bordeaux
Contact :

Re: intervalle de fluctuation

Message non lu par evariste_G »

Ce ne sont pas des âneries ... Il y a des problèmes concrets.
Je trouve cela intéressant. A l'aide d'un intervalle de fluctuation, on peut voir, par exemple, si les résultats d'une élection au second tour a été truquée ou pas en faisant appel aux sondages réalisés en amont. C'est juste que sur cet exemple de dé, c'est pas génial (mais je suis sûr que d'autres intervenants plus compétents que moi sauront trouver les raisons et/ou les mots pour expliquer cela).
Mathématiques, LaTeX et Python : https://www.mathweb.fr
Cours particuliers de maths par webcam: https://courspasquet.fr
Trouver un vrai prof pour des cours particuliers: https://lesvraisprofs.mathweb.fr/
zariski63
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 525
Inscription : jeudi 14 octobre 2010, 09:20
Statut actuel : Enseignant
Localisation : Clermont-Ferrand

Re: intervalle de fluctuation

Message non lu par zariski63 »

je tiens à vous remercier vivement d'avoir pris le temps de me répondre.
Bonne soirée dans l'attente tout de même d'une réponse au fait que mon exemple de dé n'est pas terrible.
Txin
Utilisateur débutant
Utilisateur débutant
Messages : 9
Inscription : samedi 17 août 2013, 11:21

Re: intervalle de fluctuation

Message non lu par Txin »

Bonjour,
Deux remarques:
1) Concernant le sens d'un intervalle de fluctuation:
Notations: Soit n=50 le nombre de lancers est et notons N le nombre de simulations.
Soit Fi la fréquences de faces (parmi les 50 lancers) sur la simulation i.
Si l'intervalle de fluctuation à 95% de la forme p+/-E, la probabilité que F tombe à plus de E de p est égale à 95%. Supposons que cet intervalle soit [0,4;0;6] (je reviendrai après sur le calcul des valeurs)
Cela ne signifia pas pour autant que sur N simulations, 95% des N réalisations seront toujours à moins de E du paramètre p. Il suffit de prendre N petit pour en avoir l'intuition.
Pour la ième simulation, notons Xi=1 si Fi tombe dans l'intervalle de fluctuation à 95%et 0 sinon. Xi suit une bernouilli b(0,95) et i varie de 1 à N.
Modélisons une simulation par un tirage d'urne :) : dans une urne il y aurait 95 boules blanches (Fi est dans l'intervalle) et 5 boules rouges (Fi ne tombe pas dans l'intervalle) : attention les 100 boules sont liées au% et non au nombre de simulations (pour 200 simulation ce serait la même urne). Ensuite, on procède à 100 tirages (une simulation=1tirage). Il se peut très bien que sur 100 tirages, on tire 90 blanches et 10 rouges non?
Donc pour moi pas de souci que parfois (mais pas ttrop):
"la plupart du temps je trouve 95 % et plus mais parfois apparait 94 % voire 90 % !!!!!"
Enfin, plus N est grand, plus la variabilité de de (X1+...XN)/N sera petit et moins on aura de chance de s'éloigner fort de 0,95.

2) Concernant le calcul de l'intervalle:
L'intervalle avec une binomiale (le nombre de faces suit une Bin(50;0,5)) est pas facile à déterminer. Il suffit de penser à une pièce pipée: la binomiale n'étant plus symétrique, cet intervalle n'a plus de raison d'être symétrique. Mais quand n devient grand, la binomiale peut être approchée par une loi normale (d'ou le 1,96 qui pparait dans la formule de evariste_G: quantile d'ordre 0,975 de la N(0;1)). Il y a donc bien une approximation, mais d'après moi, cette erreur est secondaire dans le question posée: pour n=100 et p=0,5, l'approx est assez bonne.

L'idée est claire dans ma tête mais je ne sais pas si j'ai été clair par écrit...
Framboise
Utilisateur chevronné
Utilisateur chevronné
Messages : 1172
Inscription : lundi 21 mai 2007, 13:57
Statut actuel : Autre
Localisation : Dordogne

Re: intervalle de fluctuation

Message non lu par Framboise »

Bonjour,

Méfiance avec le générateur aléatoire de Excel... Il y a parfois des déboires, comme avec les fonctions stats ( erf... ) de Excel.
J'ai le virus des sciences, ça se soigne ?
zariski63
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 525
Inscription : jeudi 14 octobre 2010, 09:20
Statut actuel : Enseignant
Localisation : Clermont-Ferrand

Re: intervalle de fluctuation

Message non lu par zariski63 »

Hum ... je soupçonnais aussi le générateur de nombres aléatoires d'Excel ...
Merci de vos réponses, mais je vois que mon problème est bien tordu
Txin
Utilisateur débutant
Utilisateur débutant
Messages : 9
Inscription : samedi 17 août 2013, 11:21

Re: intervalle de fluctuation

Message non lu par Txin »

Excusez-moi d'insister, mais le fait de trouver parfois 6 simulations sur 100 qui ne donnent pas une fréquence incluse dans un intervalle de fluctuation à 95% ne met pas en évidence un pb de excel (qui peut par ailleurs exister) ou d'approximation (qui peut par ailleurs exister).

D'ailleurs la probabilité d'un tel événement est:P(Bin(100;0;95)=<94)=0.384 ; 38,4% de chances de tomber sur une expérience de 100 simulations dont au plus 94 fréquences sont dans l'intervalle: je parie que si vous faites 50 expériences de 100 simulations, au moins 10 expériences donneront 94% ou moins
(43,4% des expérience de 100 simulations -> moins de 5 simulations hors intervalle et 18% des expérience de 100 simulations -> exactement 5 simulations hors intervalle)

Quant à 90% ou moins c'est plus rare mais c'est presque 3% des expériences de 100 simulations P(Bin(100;0;95)=<90)=0.0282.

Cordialement,
Framboise
Utilisateur chevronné
Utilisateur chevronné
Messages : 1172
Inscription : lundi 21 mai 2007, 13:57
Statut actuel : Autre
Localisation : Dordogne

Re: intervalle de fluctuation

Message non lu par Framboise »

Pour info:

http://support.microsoft.com/kb/86523/en-us

J'ai parfois utilisé la méthode de sauter un nombre aléatoire généré sur 3 ( ou un nombre premier ) pour avoir une meilleure série de nombres aléatoires par Excel.
Rien ne prouve que le le générateur d'Excel soit en défaut ici, ni qu'il ne le soit pas.

Autre solution: Open Office...
J'ai le virus des sciences, ça se soigne ?
Txin
Utilisateur débutant
Utilisateur débutant
Messages : 9
Inscription : samedi 17 août 2013, 11:21

Re: intervalle de fluctuation

Message non lu par Txin »

Re,
Je n'ai peut-être pas été assez claire: pour moi il n'y a pas de pb dans les résultats de zariski63.
Maintenant on peut s'intéresser aux problèmes de génération d'un nombre psueudo-aléatoire, mais c'est une autre (et longue) histoire.
zariski63
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 525
Inscription : jeudi 14 octobre 2010, 09:20
Statut actuel : Enseignant
Localisation : Clermont-Ferrand

Re: intervalle de fluctuation

Message non lu par zariski63 »

alors il ne faudrait pas dire :
dans 95 % des cas au moins, $f \in [ p- \frac{1}{\sqrt{n}} {\; ; \;} p+ \frac{1}{\sqrt{n}} ] $ !!???
Répondre