[TS] Suites par récurence

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misschoupinette30

[TS] Suites par récurence

Message non lu par misschoupinette30 »

Bonjour,
Alors voila j'ai un DM à faire sur les suites par récurrence. Je suis bloqué a une question. Du moins je ne suis pas sur de ma réponse. Voici la question :
On considère une suite numérique $(v_n)$ définie pour tout entier naturel n par $v_0$ = 1 et $v_{n+1}$=$$\dfrac{9}{6-(v)_n}$$
Démontrer par récurrence, que pour tout entier naturel n, $ 0 < $v_n$ < 3 $

Ma réponde du moins le début :
J'ai pensé comme quand dans certains exercices que j'ai fais en cours de poser f(x) =$$\dfrac{9} {6-(v)_n}$$ et donc $v_{n+1}$ = f( $v_n$ )
J'étudie donc les variations de f. Je calcule la dérivé et je trouve f'(x)= $$\dfrac{9}{(6-x)^2}$$

Quand je fais mon tableau de variations je trouve que f'(x) est positif et que donc les variations de f sont strictement croissante.
Comme valeur de x j'ai mis 0 et 3.
Et quand je calcule ses 2 valeurs je trouve f(0) = $\frac{1} {4}$ et pour f(3)= 1.

Je pense avoir fait une erreur mais je comprend pas où.
J'aimerais résoudre ce problème pour que je puisse continuer mon raisonnement par récurrence c'est à dire l'initialisation, hérédité et enfin conclusion.

Merci de l'aide que vous pouvais m'apporter d'avance.
balf
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Re: [TS] Suites par récurence

Message non lu par balf »

Pourquoi pensez-vous avoir fait une erreur ? La seule que j'ai détectée, c'est que c'est f'(0) et f'(3) que vous avez calculés, non
f(0) et f(3).

B.A.
rebouxo
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Re: [TS] Suites par récurence

Message non lu par rebouxo »

Moi ce qui me chagrines c'est que je ne vois pas la récurrence. Du moins je ne fais que la deviner.

Par contre, cela se fait en 4 lignes en manipulant les inégalités, mais ce n'est peut-être plus le genre de trucs que l'on fait en TS,par rapport à cette méthode, qui a peut-être l'avantage d'être plus "routinière". Je mets des guillemets car routinière à un sens assez péjoratif qui ne me convient pas, mais je n'ai pas d'autre terme.

Olivier
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misschoupinette30

Re: [TS] Suites par récurence

Message non lu par misschoupinette30 »

Donc f(0) = 1,5 f(3) = 3
Je comprend pas pourquoi je trouve 1,5 on devrait trouver 0 pour pouvoir etablir l'hérédité par la suite non ?
balf
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Re: [TS] Suites par récurence

Message non lu par balf »

Il faudrait peut-être expliciter la propriété qui doit être héréditaire. Dans f(0)=3/2, c'est la vatiable x qui vaut 0, pas l'entier n — qui n'est pas intervenu jusqu'à présent.
misschoupinette30

Re: [TS] Suites par récurence

Message non lu par misschoupinette30 »

Je suis perdu.
J'ai un exercice que l'on a fait en cours. Exactement le même sauf l'encadrement et la fonction. On a commencé par étudier la dérivée puis les variaction de f pour faire l'initialisation puis dans l'héridité on c'est servi de cette étude de fonction puis ensuite la conclusion.
Minibob59
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Re: [TS] Suites par récurence

Message non lu par Minibob59 »

Bonsoir,

Les démonstrations par récurrence suivent toujours le même schéma :
1. Déclaration de la propriété de récurrence que l'on veut démontrer (on appelle H(p) la propriété au rang p),
2. Initialisation de la récurrence (très souvent, il s'agit de vérifier la propriété H pour p = 0 ou 1)
3. Hérédité (on suppose que H est vraie au rang p et on démontre qu'elle est alors vraie au rang p+1)
4. Conclusion (c'est juste pour la rédaction, mais mon prof de TS insistait là-dessus...).

Pour ton exercice, quelle est la propriété que tu veux démontrer ? Il faut l'énoncer clairement !

Ensuite, ce que tu as démontré (la croissance de ta fonction par exemple) te servira pour l'hérédité.
Minibob59 !
misschoupinette30

Re: [TS] Suites par récurence

Message non lu par misschoupinette30 »

Je vous ai tout donnée à part les deux premières questions qu'il y avait avant celle ci qui etait de chosir entre 3 algorithmes differents le quel etait le bon. Et la deuxième question était faire une conjecture par rapport a des valeurs donné. Et la conjecture est que cette suite est strictement croissante.

On nous à jamais parler de déclarer la proprité avant tout ça. Et je ne vois même pas ce que ça peut être. A part peut être :
Supposons que $0 < {v_p} < 3$ pour un certains rang p ?
balf
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Re: [TS] Suites par récurence

Message non lu par balf »

Oui, c'est cet encadrement qui est la propriété « héréditaire ». Et pour montrer l'hérédité, il est particulièrement utile de savoir que f est monotone.

B.A.
misschoupinette30

Re: [TS] Suites par récurence

Message non lu par misschoupinette30 »

Oui c'est pour ça que j'ai fais l'étude de f. Mais ce que je n'arrive pas à comprendre c'est la valeur de f(0) normalement on devrait trouver 0 non sinon c'est pas cohérent si ?
rebouxo
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Re: [TS] Suites par récurence

Message non lu par rebouxo »

misschoupinette30 a écrit :Oui c'est pour ça que j'ai fais l'étude de f. Mais ce que je n'arrive pas à comprendre c'est la valeur de f(0) normalement on devrait trouver 0 non sinon c'est pas cohérent si ?
Non, pas forcément. L'encadrement est un peu meilleur, mais du moment qu'il est contenu dans l'intervalle [0;3], c'est bon. Qui peut le plus peut le moins.

$ f(0) \leq v_{n+1} \leq f(3)$, mais $f(0) \geq 0$, donc finalement, $v_{n+1}$ est bien compris entre $0$ et $3$.

Olivier
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misschoupinette30

Re: [TS] Suites par récurence

Message non lu par misschoupinette30 »

D'accord merci je crois que j'ai bien compris :)
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