entiers premiers entre eux

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kadtex
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entiers premiers entre eux

Message non lu par kadtex »

Bonjour
Je bloque sur une question.
a et b sont premiers entre eux
Montrer que ab et a+b sont premiers entre eux ?

J'ai essayé plusieurs pistes comme:
-soit d un diviseur de ab et a+b
-pgcd(a,b)=1 eqivaut à pgcd(a,b+a)=1
-trouver deux entiers relatifs u et v tels que:u(ab)+v(a+b)=1
mais je n'arrive à rien
Merci pour vos commentaires
balf
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Re: entiers premiers entre eux

Message non lu par balf »

Il suffit de montrer qu'un diviseur de ab, supérieur à 1, ne peut pas diviser a + b.

B.A.
kadtex
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Re: entiers premiers entre eux

Message non lu par kadtex »

Bonjour
soit d un diviseur de ab
donc d={1,a,b,ab}
on écarte d=1
a ne divise pas a+b car a et b premiers entre eux
b ne divise pas a+b car a et b premiers entre eux
ab ne divise pas a+b car ab>a+b
donc ab et a+b sont premiers entre eux

Est ce suffisant ?
evariste_G
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Re: entiers premiers entre eux

Message non lu par evariste_G »

Bonjour.
kadtex a écrit : soit d un diviseur de ab
donc d={1,a,b,ab}
Là, il y a un problème : $a$ et $b$ ne sont pas premiers ... mais sont premiers entre eux (nuance). Donc, cette conclusion est fausse.
Voici donc un indice : "écriture en produit de facteurs premiers de $a$ et $b$".
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kadtex
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Re: entiers premiers entre eux

Message non lu par kadtex »

Alors
a=p1^r*p2^s... facteurs premiers
b=q1^u*q2^v... facteurs premiers
ces facteurs sont tous premiers et différents

ab=p1^r*p2^s...*q1^u*q2^v...
a+b=p1^r*p2^s...+ q1^u*q2^v...
On remarque q'un facteur p ou un facteurs q ne peut pas diviser a+b car c'est infactorisable par un facteur p ou un facteur q
donc a+b et ab sont premiers entre eux
Est ce suffisant ?
Merci
evariste_G
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Re: entiers premiers entre eux

Message non lu par evariste_G »

kadtex a écrit :Alors
ab=p1^r*p2^s...*q1^u*q2^v...
a+b=p1^r*p2^s...+ q1^u*q2^v...
On remarque q'un facteur p ou un facteurs q ne peut pas diviser a+b car c'est infactorisable par un facteur p ou un facteur q
donc a+b et ab sont premiers entre eux
Est ce suffisant ?
Merci
L'esprit est là. Il faut maintenant rédiger correctement (le terme "infactorisable" me semble cavalier ... :) ).
Il faut ne pas oublier que l'on souhaite démontrer qu'un diviseur de $ab$ strictement plus grand que 1 ne peut pas diviser $a+b$.
Si on note : $$ a=\prod_{i=1}^n p_i^{\alpha_i}$$
et $$ b=\prod_{j=1}^m q_j^{\beta_j}$$
alors, un diviseur de $ab$ s'écrit : $$d=\prod_{k=1}^{r}p_k^{\gamma_k}\times q_k^{\delta_k}$$
où $\gamma_k\leqslant\alpha_k$ et $\delta_k\leqslant\beta_k$ pour $k\leqslant r$.
$d$ ne divise ni $a$ (car les $q_k$ ne divisent pas $a$) ni $b$ (car les $p_k$ ne divisent pas $b$), donc $d$ ne divise pas $(a+b)$.
Bien sûr, cette rédaction en est une parmi d'autres (sans doute plus simples à écrire). Ce que tu as écrit est grosso modo correct, mais il faut faire attention aux notations.
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balf
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Re: entiers premiers entre eux

Message non lu par balf »

Il n'est peut-être pas indispensable d'en passer par les détails de la factorisation en facteurs premiers : il suffit de remarquer que si ab et a + b ont un diviseur commun, ils ont a fortiori un diviseur premier commun. Or un diviseur premier de ab est un diviseur soit de a soit de b (mais pas des deux si a et b sont premiers entre eux)…

B.A.
kadtex
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Re: entiers premiers entre eux

Message non lu par kadtex »

Oui c'est encore plus simple.
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