Les multiples

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kadtex
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Les multiples

Message par kadtex »

Bonjour

n est un entier.
Je n'arrive pas à démontrer l'implication suivante:
Si n est multiple de a et n multiple de b alors n est multiple de ab ( a et b entiers )

n= k*a ET n=k'*b il faut démontrer que n=q*ab avec q entier

Je n'arrive pas à le faire.
Merci pour votre aide

balf
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Re: Les multiples

Message par balf »

Bonjour,

Et pour cause: c'est faux sans hypothèse sur $a$ et $b$! Cela voudrait dire que le ppcm de deux nombres est toujours leur produit.
Contre-exemple: un multiple commun à $4$ et à $6$ n'est pas nécessairement un multiple de $24$: $12$ en est un.
Cela devient vrai si $a$ et $b$ sont premiers entre eux.

B. A.

kadtex
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Re: Les multiples

Message par kadtex »

Bonjour Balf et merci pour ta réponse

Je reprends: a et b entiers premiers entre eux.
Si n est multiple de a et n multiple de b alors n est multiple de ab.

j'ai en vu cette démonstration par la contraposée et tu me diras si ça marche.
Contraposée: Si n n'est pas multiple de ab alors n n'est pas multiple de a OU n n'est pas multiple de b
Cette contraposée me parait vraie.
Que pense-tu de ça ?

balf
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Re: Les multiples

Message par balf »

Bonsoir,
Encore faut-il la prouver, cette contraposée ! Elle ne coule par de source, pour moi.

Est-ce que le lemme de Gauß fait partie de ce que vous êtes censé connaître ? Ou, à la rigueur, le lemme d'Euclide. Sinon, il faut en passer par l'identité de Bézout.

B. A.

kadtex
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Re: Les multiples

Message par kadtex »

Bien sûr le lemme de Gauss est en terminale S spé.
a,b,c entiers et a et b premiers entre eux.
Si a divise bc alors a divise c.

Mais j'avoue que je n'arrive pas l'utiliser dans mon exemple.
Maintenant j'ai une autre idée:

Puisque n est multiple de a et n multiple de b donc les diviseurs premiers de n sont ceux de a et de b (n peut avoir d'autres diviseurs que ceux de a et de b). D'ou ab divise n.

Peut être c'est mal rédigé mais je pense que c'est correct !

balf
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Re: Les multiples

Message par balf »

Ce n'est pas faux, mais pas très précis (il faudrait dire les choses de faon plus explicite) et surtout, j'ai tendance à préférer lorsque c'est possible, des démonstrations qui utilisent des outils moins sophistiqués que la décomposition en facteurs premiers (a.k.a. Théorème fondamental de l'arithmétique).

Une indication
Par hypothèse, on peut écrire à la fois $n=am_1$ pour un certain entier $m_1$, et $n=bm_2$ pour un certain entier $m_2$. Donc $am_1=bm_2$. Que pouvez-vous en déduire au moyen du lemme de Gauß ?

Autre indication
Écrivez une identité de Bézout pour $a$ et $b$: il existe des entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $ua+vb=1$, et multipliez les deux membres par $n$: on obtient $$uan+vbn=n$$ et voyez comment on peut mettre $ab$ en facteur dans chacun des deux termes de gauche à partir des hypothèses.

B. A.

kadtex
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Re: Les multiples

Message par kadtex »

Une indication
Par hypothèse, on peut écrire à la fois $n=am_1$ pour un certain entier $m_1$, et $n=bm_2$ pour un certain entier $m_2$. Donc $am_1=bm_2$. Que pouvez-vous en déduire au moyen du lemme de Gauss ?

a divise $m_2$ car a et b premiers entre eux et b divise $m_1$.
Donc $m_1=kb$ et $m_2=k'a$ (k, k' entiers) $n=am1=ab \times k$ d'où $n$ multiple de $ab$.

Pour l'autre indication il me faut un peu de temps.

kadtex
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Re: Les multiples

Message par kadtex »

Pour la deuxième indication:
Écrivez une identité de Bézout pour $a$ et $b$: il existe des entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $ua+vb=1$, et multipliez les deux membres par $n$: on obtient
$$uan+vbn=n$$

donc $uan+vbn=n$
$ua \times k'b+vb \times ka=n$
$ab(ku+k'v)=n$
$ab \times q=n$ avec $q=ku+k'v$

conclusion: $n$ multiple de $ab$.
Dernière modification par MB le vendredi 08 mai 2020, 03:25, modifié 1 fois.
Raison : Amélioration des formules.

balf
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Re: Les multiples

Message par balf »

C'est cela. Soignez un peu la rédaction (ça manque de viande autour des formules).

B. A.

rebouxo
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Re: Les multiples

Message par rebouxo »

balf a écrit :C'est cela. Soignez un peu la rédaction (ça manque de viande autour des formules).

B. A.
+1 avec balf. J'aurais de chair, là on dirait un plaidoyer pour une boucherie. :D
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Olivier
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Par solidarité, pas de MP.