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Triangle

Publié : jeudi 27 juillet 2006, 23:51
par DUET
Bonsoir,
quelqu'un pour démontrer (géométriquement si possible) que $\overrightarrow{rN}=\frac{3}{2}\overrightarrow{OM} ?$

$ABC$ est un triangle quelconque, $O$ son centre de gravité,
$p$, $q$, $r$ les milieux respectifs de $[A,B]$, $[B,C]$ et $[C,A]$.
$M$ un point quelconque,
$a$ : projection de $M$ parallèlement à $(Oq)$ sur $(BC)$,
$b$ : projection de $M$ parallèlement à $(Or)$ sur $(AC)$,
$c$ : projection de $M$ parallèlement à $(Op)$ sur $(AB)$,
$\overrightarrow{rN}=\overrightarrow{qa}+\overrightarrow{pc}+\overrightarrow{rb}$.

Merci d'avance

Publié : vendredi 28 juillet 2006, 09:45
par P.Fradin
Bonjour,

Quel niveau??

On écrit $\vec{OM}=x\vec{OA}+y\vec{OB}+z\vec{OC}$, on projette sur les trois cotés du triangle parallèlement à ce qu'il faut...
Ce qui vous donnera les trois vecteurs $\vec{qa}$, $\vec{pc}$, et $\vec{rb}$, reste à les ajouter...

Je n'ai pas cherché à savoir s'il y avait plus simple.

Publié : vendredi 28 juillet 2006, 13:32
par DUET
Quel niveau??
C'est un problème pratique sur lequel je suis tombé en évaluant une méthode d'éléments finis alors je ne connais pas le niveau qui permet de le démontrer simplement.
$\vec{OM}=x\vec{OA}+y\vec{OB}+z\vec{OC}$
Analytiquement, $x=y=z=\frac{1}{3}$ et la projection d'un point $(u,v)$ sur une droite $au+bv+c=0$ parallèlement à un vecteur $(s,t)$ est le point $((b(tu-sv)-sc)/d,(a(sv-tu)-tc)/d)$ où $d=as+bt$ mais la fin du calcul est pénible.

Publié : vendredi 28 juillet 2006, 14:22
par P.Fradin
Surtout pas d'analytique!

x, y, z=1-x-y sont les coordonnées barycentriques de M dans (A,B,C), et peu importe leur valeur. On a $\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$, soit $f$ la projection sur $(AC)$ parallèlement à $(Or)$, $f$ étant une application affine on a:
$$\overrightarrow{f(O)f(M)})=x\overrightarrow{f(O)f(A)}+y\overrightarrow{f(O)f(B)}+z\overrightarrow{f(O)f(C)}$$
c'est à dire:
$$\overrightarrow{rb}=x\overrightarrow{rA}+z\overrightarrow{rC}$$
de même, avec $g$ la projection affine sur $(BC)$ parallèlement à $(Oq)$ on obtient:
$$\overrightarrow{qa}=y\overrightarrow{qB}+z\overrightarrow{qC}$$
et avec $h$ la projection affine sur $(AB)$ parallèlement à $(Op)$ on obtient:
$$\overrightarrow{pc}=x\overrightarrow{pA}+y\overrightarrow{pB}$$
On ajoute les trois relations:

$$
\overrightarrow{rb}+\overrightarrow{qa}+\overrightarrow{pc}=x[\frac12 \overrightarrow{CA}+\frac12 \overrightarrow{BA}]+y[\frac12 \overrightarrow{CB}+\frac 12\overrightarrow{AB}]+z[\frac12 \overrightarrow{AC}+\frac12 \overrightarrow{BC}]$$

$$\overrightarrow{rb}+\overrightarrow{qa}+\overrightarrow{pc}=x\overrightarrow{qA}+y\overrightarrow{rB}+z\overrightarrow{pC}$$

$$\overrightarrow{rb}+\overrightarrow{qa}+\overrightarrow{pc}=
\frac32(x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC})$$

$$\overrightarrow{rb}+\overrightarrow{qa}+\overrightarrow{pc}=\frac32\overrightarrow{OM}$$

Publié : vendredi 28 juillet 2006, 14:27
par DUET
MERCI ! :thumbsup: