Un problème de géométrie pas évident (Ladies Diary 1730)

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MB
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Un problème de géométrie pas évident (Ladies Diary 1730)

Message non lu par MB »

En considérant la figure suivante, on note $r$, $a$, $b$ et $c$ le rayon respectif des cercles de centre $O$, $I$, $J$ et $K$. Le triangle $ABC$ étant quelconque, l'objectif est d'établir la relation suivante. $$ r = \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}$$
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Il s'agit d'un problème proposé par le Ladies Diary (1730) et que l'on retrouve dans le Géométrix de David Acheson.
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Re: Un problème de géométrie pas évident

Message non lu par MB »

Solution proposée par David Acheson.

En considérant la figure suivante, on note $r$ le rayon du cercle de centre $I$ et $R$ celui du cercle de centre $O$.
Dans le triangle $OIH$, on obtient les relations suivantes.
$$ \sin(\theta)=\frac{OH}{OI}=\frac{R+r}{R-r} \quad\text{et}\quad \cos(\theta)=\frac{IH}{OI}=\frac{\sqrt{OI^2-OH^2}}{OI}=\frac{2\sqrt{Rr}}{R+r}$$
a7e40cd630dc470f8240587582be62f46e8c2362.svg
En notant $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ les demi-angles de sommets respectifs $A$, $B$ et $C$ du triangle $ABC$, on a les relations suivantes.
$$\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)=\cos(\gamma-\tfrac{\pi}{2})=\sin(\gamma)$$
Et donc $$\frac{2\sqrt{ra}}{r+a} \times \frac{2\sqrt{rb}}{r+b}-\frac{r-a}{r+a} \times \frac{r-b}{r+b} = \frac{r-c}{r+c}$$
Ce qui donne après quelques simplifications $$2(r+c)\sqrt{ab} = r^2+ab-bc-ac$$
La résolution de l'équation du second degré suivante donne alors la solution annoncée. $$r^2-2r\sqrt{ab}+ab-c(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=0$$
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projetmbc
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Re: Un problème de géométrie pas évident

Message non lu par projetmbc »

Cela sert à quoi...

Désolé c'était trop tentant. :lol:

Le livre a l'air sympa.
MB
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Re: Un problème de géométrie pas évident

Message non lu par MB »

projetmbc a écrit : lundi 31 mai 2021, 17:17 Cela sert à quoi...
A rien, mais le résultat est je trouve assez sympathique.
L'auteur suggère d'ailleurs qu'avec un tel résultat, il doit sans doute être possible d'y parvenir par une méthode plus élégante.
À vos crayons !
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Kadar Houssein Igue
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Re: Un problème de géométrie pas évident (Ladies Diary 1730)

Message non lu par Kadar Houssein Igue »

Pour résoudre des problèmes géométrie des nouveau outils puissants est apparue c'est des corps des nombres complexes 3D, 4D, ..., nD. Je pense que ça vous permettre de résoudre vos problèmes géométrie d'une manière très élégant.

Voici les liens de ses articles révolutionnaires.
L'auteur se nomme Kadar Houssein Igue. C'est un professeur de mathématiques Djiboutien.

1. Le corps des nombres très complex 3D.

A appartenant lK A=a+ib+kc avec a,b et c appartenant à lR et k=1/0 k*i=1/0*i=1/(0*i)*i on simplifie des i et on a k×i==1/0=k.

https://www.academia.edu/resource/work/48902260

2. Le corps des nombres hypercomplex 4D.

A appartenant à MI A=a+ib+kc+md a,b,c,d appartenant à lR. k×i=k k×m=k m×i=m.

https://www.academia.edu/resource/work/48902624

3. Le corps des nombres hautement complex nD.

https://www.academia.edu/resource/work/48903305

4. Les propriétés des nombres hautement complex.

https://www.academia.edu/resource/work/48903315
MB
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Re: Un problème de géométrie pas évident (Ladies Diary 1730)

Message non lu par MB »

L'objectif est de parvenir à résoudre le problème à l'aide de résultats classiques et non de résultats "révolutionnaires".
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