Mesure-image et la mesure de Lebesgue

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melbachir

Mesure-image et la mesure de Lebesgue

Message non lu par melbachir »

Bonjour à tous,

Je ne vois pas pourquoi la mesure-image de la mesure probabilité par une variable aléatoire doit être absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue.


Attention : X variable à densité

En écrivant :
$\displaystyle \mathbb{P}_{X}(A)=\mathbb{E}(\textbf{Ind}_{A}\circ X)=\int_{\Omega}(\textbf{Ind}_{A}\circ X)d\mathbb{P}\overset{(1)}{=}\int_{A}f(x)d\lambda(x)\overset{(2)}{=}0$

J'ai l'impression que j'utilise ce que je cherche en (1)

[(2) : Car $A$ est $\lambda-$négligeable et l'intégrale sur un ensemble de mesure nulle est nulle.]

Merci d'avance,
Dernière modification par melbachir le vendredi 25 juin 2010, 22:58, modifié 1 fois.
girdav
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Re: Mesure et image et la mesure de Lebesgue

Message non lu par girdav »

Bonjour,
le fait que la mesure image soit absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue assure par le théorème de Radon-Nikodym l'existence de la densité $f$.
melbachir

Re: Mesure et image et la mesure de Lebesgue

Message non lu par melbachir »

Ah bon.

On doit pas avoir les mêmes énoncés du théorème de RN :

Mon énoncé :

Soit $\mu$ et $\nu$ deux mesures $\sigma-$finies sur $(X,\mathcal{A})$.
Si $\nu \ll \mu$ alors il existe une unique fonction $f\colon (\mathbb{R}^{d},\mathcal{B}_{\mathbb{R}^{d}})\rightarrow (\mathbb{R}_{+}, \mathcal{B}_\mathbb{R}_{+})$ tel que pour tout $A\in\mathcal{A}$ on ait $\displaystyle \nu(A)=\int_{A}f(x)d\lambda(x)$.

Donc mon problème c'est de savoir pourquoi $\displaystyle \mathbb{P}_{X}\ll \lambda$ pour arriver à écrire la conclusion du théorème de RN.
girdav
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Re: Mesure et image et la mesure de Lebesgue

Message non lu par girdav »

Oui, la mesure image est finie donc $\sigma$-finie sur $\mathcal B\left(\mathbb R\right)$ et la mesure de Lebesgue est $\sigma$-finie sur $\mathbb R$.
melbachir

Re: Mesure et image et la mesure de Lebesgue

Message non lu par melbachir »

girdav a écrit :Oui, la mesure image est finie donc $\sigma$-finie sur $\mathcal B\left(\mathbb R\right)$ et la mesure de Lebesgue est $\sigma$-finie sur $\mathbb R$.

Oui. Les deux mesures sont $\sigma-$fines :

Mesure de Lebesgue : Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\lambda([-n,n])<+\infty$ et $\mathbb{R}=\bigcup_{n\in\N}[-n,n]$.

Mesure image... : Car c'est une mesure finie.

Je suis d'accord avec ça.

Mais pour appliquer le théorème de RN, il faut encore vérifier que $\mathbb{P}_{X}\ll \lambda$. C'est ce que je cherche à comprendre. Pourquoi $\mathbb{P}_{X}\ll \lambda$.
girdav
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Re: Mesure et image et la mesure de Lebesgue

Message non lu par girdav »

Rien n'impose l'absolue continuité par rapport à la mesure de Lebesgue. Par exemple, si $\mathbb P_X = p\delta_{\left\{0\right\}}+\left(1-p\right)\delta_{\left\{1\right\}}$($p\neq 0$) alors on a que $\lambda\left(\left\{0,\right\} \right)= 0$ alors que $\mathbb P_X\left(\left\{0\right\}\right) = p\neq 0$.
melbachir

Re: Mesure et image et la mesure de Lebesgue

Message non lu par melbachir »

girdav a écrit :Rien n'impose l'absolue continuité par rapport à la mesure de Lebesgue. Par exemple, si $\mathbb P_X = p\delta_{\left\{0\right\}}+\left(1-p\right)\delta_{\left\{1\right\}}$($p\neq 0$) alors on a que $\lambda\left(\left\{0,\right\} \right)= 0$ alors que $\mathbb P_X\left(\left\{0\right\}\right) = p\neq 0$.
Pour l'application du théorème de RN?

Bon, je ne sais pas... Mais pour nous. Nous avons besoin de deux choses : La $\sigma-$finitude et l'absolue continuité.

Peut-importe. Ma question n'était pas d'avoir les différents énoncés possibles du théorème de RN. Mais c'était de comprendre pourquoi on a :

$\mathbb{P}_{X} \ll \lambda$
:|
girdav
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Re: Mesure et image et la mesure de Lebesgue

Message non lu par girdav »

Mon exemple montre que ce n'est pas toujours le cas.
melbachir

Re: Mesure et image et la mesure de Lebesgue

Message non lu par melbachir »

girdav a écrit :Mon exemple montre que ce n'est pas toujours le cas.
Et si on exige que X est une variable à densité?
girdav
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Re: Mesure et image et la mesure de Lebesgue

Message non lu par girdav »

Dans ce cas le passage $(1)$ dans ton premier message est correct.
melbachir

Re: Mesure et image et la mesure de Lebesgue

Message non lu par melbachir »

girdav a écrit :Dans ce cas le passage $(1)$ dans ton premier message est correct.

Désolé de ne pas l'avoir dit. Mais de cela que je parlais depuis le début.

En classe. L'absolue continuité est réservée pour les variables à densité.

Désolé de ne pas avoir précisé mon intention.


Cependant, je ne comprends pas toujours bien que je sais que c'est ce que j'ai écris au début est juste.

Ce qui me dérange : C'est le (1) car je suis convaincu que cette égalité utilise le fait que $\mathbb{P}_{X}\ll \lambda$.

Mais si j'ai faux (à conviction :) ) ... ce que j'ai fait au premier post répond à ma question à savoir pourquoi $\mathbb{P}_{X}\ll \lambda$.
girdav
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Re: Mesure et image et la mesure de Lebesgue

Message non lu par girdav »

$(1)$ utilise le fait que $\mathbb P_X\left(A\right) = \int_A fd\lambda$ c'est-à-dire que $X$ admet une densité par rapport à la mesure de Lebesgue. C'est uniquement cela que l'on suppose, comme tu viens de le signaler.
melbachir

Re: Mesure et image et la mesure de Lebesgue

Message non lu par melbachir »

girdav a écrit :$(1)$ utilise le fait que $\mathbb P_X\left(A\right) = \int_A fd\lambda$ c'est-à-dire que $X$ admet une densité par rapport à la mesure de Lebesgue. C'est uniquement cela que l'on suppose, comme tu viens de le signaler.

Merci beaucoup.

Effectivement, j'avais perdu la définition d'une variable à densité de vu.

C'est plus clair maintenant.

Merci à toi girdav pour ta patience. Et aussi aux autres participants!
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