Mesure-image et la mesure de Lebesgue
Mesure-image et la mesure de Lebesgue
Bonjour à tous,
Je ne vois pas pourquoi la mesure-image de la mesure probabilité par une variable aléatoire doit être absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue.
Attention : X variable à densité
En écrivant :
$\displaystyle \mathbb{P}_{X}(A)=\mathbb{E}(\textbf{Ind}_{A}\circ X)=\int_{\Omega}(\textbf{Ind}_{A}\circ X)d\mathbb{P}\overset{(1)}{=}\int_{A}f(x)d\lambda(x)\overset{(2)}{=}0$
J'ai l'impression que j'utilise ce que je cherche en (1)
[(2) : Car $A$ est $\lambda-$négligeable et l'intégrale sur un ensemble de mesure nulle est nulle.]
Merci d'avance,
Je ne vois pas pourquoi la mesure-image de la mesure probabilité par une variable aléatoire doit être absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue.
Attention : X variable à densité
En écrivant :
$\displaystyle \mathbb{P}_{X}(A)=\mathbb{E}(\textbf{Ind}_{A}\circ X)=\int_{\Omega}(\textbf{Ind}_{A}\circ X)d\mathbb{P}\overset{(1)}{=}\int_{A}f(x)d\lambda(x)\overset{(2)}{=}0$
J'ai l'impression que j'utilise ce que je cherche en (1)
[(2) : Car $A$ est $\lambda-$négligeable et l'intégrale sur un ensemble de mesure nulle est nulle.]
Merci d'avance,
Dernière modification par melbachir le vendredi 25 juin 2010, 22:58, modifié 1 fois.
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Re: Mesure et image et la mesure de Lebesgue
Bonjour,
le fait que la mesure image soit absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue assure par le théorème de Radon-Nikodym l'existence de la densité $f$.
le fait que la mesure image soit absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue assure par le théorème de Radon-Nikodym l'existence de la densité $f$.
Re: Mesure et image et la mesure de Lebesgue
Ah bon.
On doit pas avoir les mêmes énoncés du théorème de RN :
Mon énoncé :
Soit $\mu$ et $\nu$ deux mesures $\sigma-$finies sur $(X,\mathcal{A})$.
Si $\nu \ll \mu$ alors il existe une unique fonction $f\colon (\mathbb{R}^{d},\mathcal{B}_{\mathbb{R}^{d}})\rightarrow (\mathbb{R}_{+}, \mathcal{B}_\mathbb{R}_{+})$ tel que pour tout $A\in\mathcal{A}$ on ait $\displaystyle \nu(A)=\int_{A}f(x)d\lambda(x)$.
Donc mon problème c'est de savoir pourquoi $\displaystyle \mathbb{P}_{X}\ll \lambda$ pour arriver à écrire la conclusion du théorème de RN.
On doit pas avoir les mêmes énoncés du théorème de RN :
Mon énoncé :
Soit $\mu$ et $\nu$ deux mesures $\sigma-$finies sur $(X,\mathcal{A})$.
Si $\nu \ll \mu$ alors il existe une unique fonction $f\colon (\mathbb{R}^{d},\mathcal{B}_{\mathbb{R}^{d}})\rightarrow (\mathbb{R}_{+}, \mathcal{B}_\mathbb{R}_{+})$ tel que pour tout $A\in\mathcal{A}$ on ait $\displaystyle \nu(A)=\int_{A}f(x)d\lambda(x)$.
Donc mon problème c'est de savoir pourquoi $\displaystyle \mathbb{P}_{X}\ll \lambda$ pour arriver à écrire la conclusion du théorème de RN.
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Re: Mesure et image et la mesure de Lebesgue
Oui, la mesure image est finie donc $\sigma$-finie sur $\mathcal B\left(\mathbb R\right)$ et la mesure de Lebesgue est $\sigma$-finie sur $\mathbb R$.
Re: Mesure et image et la mesure de Lebesgue
girdav a écrit :Oui, la mesure image est finie donc $\sigma$-finie sur $\mathcal B\left(\mathbb R\right)$ et la mesure de Lebesgue est $\sigma$-finie sur $\mathbb R$.
Oui. Les deux mesures sont $\sigma-$fines :
Mesure de Lebesgue : Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\lambda([-n,n])<+\infty$ et $\mathbb{R}=\bigcup_{n\in\N}[-n,n]$.
Mesure image... : Car c'est une mesure finie.
Je suis d'accord avec ça.
Mais pour appliquer le théorème de RN, il faut encore vérifier que $\mathbb{P}_{X}\ll \lambda$. C'est ce que je cherche à comprendre. Pourquoi $\mathbb{P}_{X}\ll \lambda$.
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Re: Mesure et image et la mesure de Lebesgue
Rien n'impose l'absolue continuité par rapport à la mesure de Lebesgue. Par exemple, si $\mathbb P_X = p\delta_{\left\{0\right\}}+\left(1-p\right)\delta_{\left\{1\right\}}$($p\neq 0$) alors on a que $\lambda\left(\left\{0,\right\} \right)= 0$ alors que $\mathbb P_X\left(\left\{0\right\}\right) = p\neq 0$.
Re: Mesure et image et la mesure de Lebesgue
Pour l'application du théorème de RN?girdav a écrit :Rien n'impose l'absolue continuité par rapport à la mesure de Lebesgue. Par exemple, si $\mathbb P_X = p\delta_{\left\{0\right\}}+\left(1-p\right)\delta_{\left\{1\right\}}$($p\neq 0$) alors on a que $\lambda\left(\left\{0,\right\} \right)= 0$ alors que $\mathbb P_X\left(\left\{0\right\}\right) = p\neq 0$.
Bon, je ne sais pas... Mais pour nous. Nous avons besoin de deux choses : La $\sigma-$finitude et l'absolue continuité.
Peut-importe. Ma question n'était pas d'avoir les différents énoncés possibles du théorème de RN. Mais c'était de comprendre pourquoi on a :
$\mathbb{P}_{X} \ll \lambda$
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Re: Mesure et image et la mesure de Lebesgue
Mon exemple montre que ce n'est pas toujours le cas.
Re: Mesure et image et la mesure de Lebesgue
Et si on exige que X est une variable à densité?girdav a écrit :Mon exemple montre que ce n'est pas toujours le cas.
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Re: Mesure et image et la mesure de Lebesgue
Dans ce cas le passage $(1)$ dans ton premier message est correct.
Re: Mesure et image et la mesure de Lebesgue
girdav a écrit :Dans ce cas le passage $(1)$ dans ton premier message est correct.
Désolé de ne pas l'avoir dit. Mais de cela que je parlais depuis le début.
En classe. L'absolue continuité est réservée pour les variables à densité.
Désolé de ne pas avoir précisé mon intention.
Cependant, je ne comprends pas toujours bien que je sais que c'est ce que j'ai écris au début est juste.
Ce qui me dérange : C'est le (1) car je suis convaincu que cette égalité utilise le fait que $\mathbb{P}_{X}\ll \lambda$.
Mais si j'ai faux (à conviction :) ) ... ce que j'ai fait au premier post répond à ma question à savoir pourquoi $\mathbb{P}_{X}\ll \lambda$.
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Re: Mesure et image et la mesure de Lebesgue
$(1)$ utilise le fait que $\mathbb P_X\left(A\right) = \int_A fd\lambda$ c'est-à-dire que $X$ admet une densité par rapport à la mesure de Lebesgue. C'est uniquement cela que l'on suppose, comme tu viens de le signaler.
Re: Mesure et image et la mesure de Lebesgue
girdav a écrit :$(1)$ utilise le fait que $\mathbb P_X\left(A\right) = \int_A fd\lambda$ c'est-à-dire que $X$ admet une densité par rapport à la mesure de Lebesgue. C'est uniquement cela que l'on suppose, comme tu viens de le signaler.
Merci beaucoup.
Effectivement, j'avais perdu la définition d'une variable à densité de vu.
C'est plus clair maintenant.
Merci à toi girdav pour ta patience. Et aussi aux autres participants!
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