Théorème des facteurs invariants

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Tonn83
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Théorème des facteurs invariants

Message non lu par Tonn83 »

Bonjour,

Je cherchais un exercice sympa sur le théorème des facteurs invariants et je me suis piégé. :(
Si $n_1,\dots,n_k$ sont des entiers naturels, alors le théorème des facteurs invariants prévoit un isomorphisme
$\prod_{i=1}^k\Z/n_i\Z\simeq \prod_{i=1}^k\Z/m_i\Z$

où $m_1$ est le pgcd des $n_i$, où $m_k$ est leur ppcm. Plus généralement, $m_i$ est le pgcd de ppcm($n_j,j\in I$) pour les parties $I$ à $i$ éléments de $\{1,\dots,k\}$.

Je cherche des matrices $P,Q\in SL_n(\Z)$ telles que
$Pdiag(n_1,\dots,n_k)Q=diag(m_1,\dots,m_k)$


Pour $k=2$, la relation de Bézout donne
$\alpha n+\beta m=d=pgcd(n,m)$.

On pose $n=de$ et $m=df$. Le ppcm de $n$ et de $m$ vaut $def$. On peut alors prendre
$P=\left[\begin{matrix} 1 & 1\\ -\beta f& \alpha e\end{matrix}\right]\qquad ; \qquad Q=\left[\begin{matrix} \alpha & -f\\ \beta & e\end{matrix}\right]$


Que faire pour $k>2$ ?
Tonn83
MC
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Re: Théorème des facteurs invariants

Message non lu par MC »

Continuer!

Ta matrice 2*2 permet de remplacer les deux premiers éléments de la diagonale par leur pgcd et leur ppcm. Tu traites ensuite le nouveau premier et le troisième, etc. Quand tu as fini de traiter la diagonale, tu te trouves alors avec le pgcd de tout le monde en tête de la diagonale. Par récurrence, tu fabriques bien une matrice diagonale où chaque élément de la diagonale divise le suivant.
Tonn83
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Re: Théorème des facteurs invariants

Message non lu par Tonn83 »

MC a écrit :Continuer!
Euh... oui... Merci pour ton aide, MC. :D
MC a écrit :Ta matrice 2*2 permet de remplacer les deux premiers éléments de la diagonale par leur pgcd et leur ppcm. Tu traites ensuite le nouveau premier et le troisième, etc. Quand tu as fini de traiter la diagonale, tu te trouves alors avec le pgcd de tout le monde en tête de la diagonale. Par récurrence, tu fabriques bien une matrice diagonale où chaque élément de la diagonale divise le suivant.
N'es-tu pas en train de me réécrire la démonstration que les deux matrices sont similaires ?
J'ai effectué les calculs pour $k=3$ mais les formules obtenues pour les coefficients $Q_{ij}$ et $P_{ij}$ sont difficilent à extrapoler...
Tonn83
MC
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Re: Théorème des facteurs invariants

Message non lu par MC »

N'es-tu pas en train de me réécrire la démonstration que les deux matrices sont similaires ?
A part que je ne sais pas ce que sont des matrices similaires, c'est effectivement une démonstration tout à fait classique.
Je ne connais pas d'autre moyen de construire des matrices $P$ et $Q$ faisant ce que tu veux que de procéder par étapes, à partir du cas 2*2. C'était le sens de mon "Continuer!" :wink:
Ou alors si : utiliser la commande SmithForm du paquet LinearAlgebra de Maple.