Ciel étoilé

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Framboise
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Ciel étoilé

Message non lu par Framboise »

Bonjour, ... ou plutôt bonne nuit.

Je viens de passer la tondeuse, je viens enfin de finir, ouf !
Quel rapport ? tout simplement que ce n'est pas passionnant et j'en profitais, tout en tondant à la lumière des phares, pour admirer le ciel étoilé qui est superbe bien que légèrement voilé. Pas un nuage, on distingue clairement la Voie Lactée, la Grande Ourse, Cassiopée et plein de chauves souris.
C'est alors qu'une idée en a profité pour m'assaillir: comment faire une répartition sphérique aléatoire avec une fonction de nombre aléatoire ?
On peut considérer une fonction de 0 à 1 pour répartir en longitude sur les 360 degrés.
Ensuite il faut répartir en latitude, mais comme un bandeau de parallèle se rétrécit vers les pôles, il serait logique de corriger de l'arc cosécante.
Ce me semble trop simple.
Le problème peut se poser en répartition de surface de la sphère, mais aussi en volume de la sphère.
J'ai le virus des sciences, ça se soigne ?
Arnaud
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Re: Ciel étoilé

Message non lu par Arnaud »

Je n'ai pas très bien compris le problème, et donc je n'ai pas de solution à proposer.
Mais je ne peux malheureusement pas observer les étoiles ce week-end en raison des nuages, donc pour ceux qui aiment, et qui comme moi sont coincés :

http://www.futura-sciences.com/uploads/ ... a/sgui.jpg
Arnaud
Un peu d'info - Pyromaths - Pas d'aide en MP (non plus)
Framboise
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Re: Ciel étoilé

Message non lu par Framboise »

L'idée est d'obtenir une répartition aléatoire sur la surface d'une sphère, sorte de ciel étoilé uniforme.
La deuxième idée est d'obtenir une répartition aléatoire dans le volume d'une sphère.

Dans le cas "surface de la sphère", j'envisage en première idée:
RAND() fonction aléatoire dans l'intervalle [0, 1]
Long = 360 * RAND() ' Longitude en degrés [0, 360 ]
Si Long = 360, recommencer ' Evite de doubler pour 0 et 360 degrés
Lat = 180 * ( RAND() - 0.5 ) ' Latitude en degrés [-90, +90 ]

Dans ce cas Lat produit une déformation, trop d'étoiles vers les pôles.
J'envisage donc de compenser la fonction aléatoire en fonction du cosinus de la Lat:
COS ( Lat ) = 180 * ( RAND() - 0.5 )
=> Lat = ACOS ( 180 * ( RAND() - 0.5 ) )
C'est plus simple que me première idée faisant intervenir les cosecantes.

Ce n'est pas évident du tout pour une répartition volumique dans la sphère.
J'envisage:
Une direction aléatoire comme précédemment
Une distance aléatoire, mais la répartition se condense pour R proche de zéro
R= RAND()
J'envisage donc la correction:
R^3 = RAND()
=> R = racine cubique de ( RAND() )
J'ai le virus des sciences, ça se soigne ?
Noah

Re: Ciel étoilé

Message non lu par Noah »

En tirant les coordonnées sphériques $r$ , $\theta$ et $\varphi$ selon des lois uniformes sur $[0,R]$ , $[0,2\pi]$ et $[0,\pi]$ , tu vas obtenir :

$$\mathbf{P}( (r,\theta,\varphi) \in [r_0 \pm dr]\times[\theta_0 \pm d\theta]\times[\varphi_0 \pm d\varphi] ) = \dfrac{dr}{R}.\dfrac{d\theta}{2\pi}.\dfrac{d\varphi}{\pi}$$
(où la notation $[z_0 \pm dz]$ désigne l'intervalle $[z_0 - dz, z_0 + dz]$ ) .

Ce que tu recherches, c'est à avoir une loi uniforme non pas par rapport à $dr.d\theta.d\varphi$ mais par rapport à l'élément de volume sphérique $r_0^2 dr \sin \theta_0 d\theta d\varphi$ . Comme les tirages de $r$ , $\theta$ et $\varphi$ sont indépendants, il suffit de trouver deux lois $\mathbf{p}_r$ et $\mathbf{P}_\theta$ telles que :

$$\mathbf{P}_r (r \in [r_0 \pm dr]) \propto r_0^2 dr \mbox{ et } \mathbf{P}_\theta (\theta \in [\theta_0 \pm d\theta]) \propto \sin \theta d\theta .$$
On a $r_0 - dr \leqslant r \leqslant r_0 + dr \Leftrightarrow r_0^3 - 3r_0^2 dr \leqslant r^3 \leqslant r_0^3 + 3r_0^2dr$ , donc effectivement en tirant $r^3$ selon une loi uniforme sur $[0,R^3 ]$ , on aura

$\mathbf{P}_r (r \in [r_0 \pm dr]) = \mathbf{P}_{r^3} (r^3 \in [r_0^3 \pm 3r_0^2 dr]) \propto r_0^2 dr $, et de même en tirant $\cos \theta$ selon une loi uniforme sur $[-1,1]$ , donc tes deux correctifs sont valables (à ceci près que tu pour la latitude tu prends l'arc cosinus d'un nombre compris entre -90 et 90, or c'est dans [-1,1] qu'il faut tirer ce nombre).

En parlant de ciel étoilé, je me rappelle d'un fait étonnant : si l'on fait correspondre à chaque étoile un couple d'entiers (hauteur, déclinaison, en prenant par exemple le nombre formé des premières décimales), alors la probabilité que les entiers obtenus soient premiers entre eux approche $6/\pi^2$ .

Framboise, tu sais pas la chance que t'as d'en voir, des étoiles ... Ici en plein centre ville de Marseille à part les girophares on ne voit pas grand-chose briller :mrgreen: Ce week-end j'ai fait une excursion dans la cambrousse, toutes ces étoiles, j'avais le tournis ...
Framboise
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Re: Ciel étoilé

Message non lu par Framboise »

>Noah

Merci pour tes infos.

En effet, il faut : Lat = ACOS ( 2 * RAND() - 0.5 ) * 180 / PI [deg]

--------

Je continue mes idées.
On peut obtenir avec une autre méthode une distribution aléatoire sphérique ( R = 1, centrée en O ) volumique en prenant les 3 axes x,y,z:
X = 2 * ( RND() -0.5 ), idem en Y et Z.
en ne gardant que les points tels que R <= 1, soit X^2 + Y^2 + Z^2 <= 1
On peut en déduire une distribution sphérique surfacique en projetant ces points du volume sur la surface.
On évitera de prendre des points trop près de O pour éviter des imprécisions numériques.

----
Framboise, tu sais pas la chance que t'as d'en voir, des étoiles
J'adore cela. Une chaise longue à regarder les étoiles, quel spectacle ! Mille fois mieux que la TV ( dont je ne suis pas fan ). Pas une lumière "humaine" en vue. Par temps couvert, il me reste les planétarium ( planetaria ? jamais fait de latin :roll: ) sur ordi.
Parfois aussi un concert de grenouilles, cigales, crapauds accoucheurs, plus les animaux de nuit tels que chouettes. Parfois un chevreuil ou un sanglier.
J'ai le virus des sciences, ça se soigne ?
Noah

Re: Ciel étoilé

Message non lu par Noah »

Effectivement, ça revient au même, puisque chercher une distribution uniforme par rapport à l'élément de volume en coordonnées sphériques, revient à la faire par rapport à l'élément de volume en cartésiennes, ce qu'on cherchait à obtenir. Mais cette deuxième méthode me semble moins efficace, car on tire une bonne proportion des points à l'extérieur de la sphère (plus exactement, une proportion de $1-\pi/6 \simeq 47.6 \%$, près d'un point sur deux !), d'où beaucoup de tirages inutiles, et on doit en plus faire le calcul de la norme à chaque fois (ceci dit, la méthode "sphérique" implique à chaque tirage, le calcul d'un arc cosinus et d'une racine cubique, mais au moins on est sûr de tomber dans la sphère).

Ok pour la distribution surfacique par projection radiale, ça se démontre (il suffit d'intégrer sur [-R,R] la loi de probabilité sphérique) .

Hé hé justement j'ai fait un saut en Périgord la semaine dernière, je me suis régalé ...

(planetarii nan ? enfin j'ai jamais fait de latin non plus)
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