Deux français reçoivent la médaille Fields

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MB
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Deux français reçoivent la médaille Fields

Message non lu par MB »

La médaille Fields a été décernée jeudi 19 août 2010 à deux mathématiciens français : Cédric Villani et Ngô Bảo Châu. Pour les détails, je cite cet article du site pourlascience.fr.
Quant à Cédric Villani, une médaille Fields lui a été décernée « pour ses démonstrations de l'amortissement de Landau non linéaire et de la convergence vers l'équilibre de l'équation de Boltzmann. » Voyons de quoi il s'agit.
À la fin du XVIIe siècle, le physicien autrichien Ludwig Boltzmann (1844-1906) proposa d'étudier le comportement d'un gaz non plus en suivant chacune de ses particules, mais en examinant l'évolution de la probabilité qu'une particule occupe telle ou telle position et soit animée de telle ou telle vitesse. La physique statistique était née ! En 1872, il établit ainsi une équation qui décrit l'évolution d'un gaz peu dense hors de l'équilibre, et notamment sa relaxation (la convergence) vers un état d'équilibre global. En d'autres termes, le second principe de la thermodynamique (l'augmentation de l'entropie) devenait accessible à l'analyse mathématique.
Dans les années 1990, alors qu'il poursuivait sa thèse sous la direction de Pierre-Louis Lions, médaillé Fields en 1994, C. Villani s'est intéressé au cas d'un gaz où ont lieu des interactions à longue portée, par exemple quand les particules sont chargées électriquement. Parmi les divers résultats obtenus dans ce cadre, l'un d'eux, fruit d'une collaboration avec Laurent Desvillettes, de l'École normale supérieure de Cachan, concerne la vitesse de convergence vers l'équilibre lorsque le gaz en est initialement très éloigné.
En 1946, le physicien russe Lev Landau (1908-1968) s'est intéressé à la physique des plasmas et a défini, à partir des équations cinétiques de ces gaz ionisés, l'amortissement qui porte aujourd'hui son nom. Ce phénomène correspond à un transfert d'énergie des champs électromagnétiques créés par les particules chargées du plasma vers les électrons du plasma. Cet amortissement conduit le plasma à un état d'équilibre même en l'absence de collisions entre les particules, avait affirmé Landau. Et il l'avait prouvé sur une version linéaire et simplifiée de l'équation de Vlasov-Poisson, l'équivalent pour les plasmas de l'équation de Boltzmann. Depuis, peu de progrès ont été réalisés sur cette question de l'évolution vers l'équilibre d'un plasma... jusqu'à l'année dernière, quand C. Villani, en collaboration avec Clément Mouhot, aujourd'hui à Cambridge, ont réussi à prouver sur la version complète, non linéaire, de l'équation de Vlasov-Poisson que Landau avait raison.
Ces deux travaux récompensés ne constituent qu'une facette des domaines de recherche de C. Villani. Ainsi, il s'intéresse également à la théorie du transport optimal (comment transporter une masse d'un endroit à un autre en dépensant le moins d'énergie possible), inaugurée par Gaspard Monge en 1781. Passant d'un domaine à l'autre, C. Villani en a profité pour édifier de nouveaux ponts entre l'analyse et la géométrie.
Bao Châu Ngô, lui, s'est notamment illustré en démontrant de façon générale, en 2008, le « Lemme fondamental », une conjecture énoncée en 1987 et qui constitue un élément clef du « programme (ou correspondance) de Langlands » formulé à partir de 1967 par le mathématicien canadien Robert Langlands. Le programme de Langlands est un vaste ensemble de conjectures tissant des liens assez précis entre la théorie des nombres, la théorie des fonctions dites automorphes et la théorie de la représentation des groupes. La démonstration du célèbre théorème de Fermat, en 1994, a d'ailleurs été accomplie par l'Anglais Andrew Wiles en prouvant la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, qui faisait partie du programme de Langlands. On peut noter que la médaille Fields décernée en 2002 à Laurent Lafforgue, de l'Institut des hautes études scientifiques, à Bures-sur-Yvette près de Paris, concernait également la correspondance de Langlands.
Deux autres mathématiciens ont également reçu cette médaille :
Elon Lindenstrauss est récompensé pour « ses résultats sur la rigidité des mesures en théorie ergodique, et leurs applications à la théorie des nombres ». La théorie ergodique étudie les transformations qui laissent inchangées des mesures (par exemple les superficies ou les volumes) sur des espaces, ces derniers pouvant être de natures très diverses (l'espace physique, l'espace des variables qui décrivent la dynamique d'un système de plusieurs particules, etc.). Comme l'indique l'annonce du prix, E. Lindenstrauss et ses collaborateurs ont découvert de nombreuses applications des techniques de théorie ergodique à des questions de théorie des nombres. L'une d'elles porte sur la « conjecture de Littlewood », qui décrit l'approximation d'une paire de nombres réels par des paires de nombres rationnels ayant même dénominateur. Cette conjecture a ainsi été prouvée dans « presque tous les cas » (expression qui a un sens mathématique précis).
La médaille Fields de Stanislas Smirnov récompense « la démonstration de l'invariance conforme de la percolation et du modèle d'Ising bidimensionnel en physique statistique ». Dans les années 1990, les physiciens ont prédit plusieurs exposants ou dimensions caractérisant le comportement de modèles bidimensionnels sur réseau, avec l'idée sous-jacente que ces modèles jouissent de la symétrie conforme (invariance par rapport aux transformations conformes, c'est-à-dire par rapport aux transformations qui conservent localement les angles, mais pas forcément les distances) lorsque le pas du réseau tend vers 0. Mais les preuves rigoureuses manquaient jusqu'à ce que des mathématiciens, dont Wenderlin Werner (de l'Université de Paris-Sud et lauréat d'une médaille Fields en 2006), l'Israélien Oded Schramm (disparu dans un accident en 2008), S. Smirnov et d'autres, établissent des résultats mathématiquement exacts.
Notamment, S. Smirnov a démontré l'invariance conforme du modèle de percolation sur un réseau triangulaire de points. Dans ce modèle, chaque point est jaune ou bleu (par exemple) avec des probabilités p et 1 – p, et l'on s'intéresse aux amas bleus ou jaunes. Lorsque p dépasse une certaine valeur critique pc, il existe un amas jaune qui s'étend sur une infinité de points (il y a alors « percolation »). On peut s'intéresser par exemple à la probabilité que le point origine du réseau appartienne à l'amas de percolation, et l'on démontre qu'elle est proportionnelle à (p – pc)5/36 lorsque p s'approche de pc par valeurs supérieures. L'exposant 5/36 avait d'abord été prédit par des arguments de physique théorique.
S. Smirnov a également prouvé l'invariance conforme du modèle d'Ising bidimensionnel à sa température critique. Le modèle d'Ising, qui date des années 1920, est un modèle simple, mais très riche, de la physique statistique, qui permet d'étudier le magnétisme et d'autres propriétés de la matière. On suppose un réseau carré de points dotés d'une valeur +1 ou –1 et qui interagissent entre proches voisins ; cette interaction est telle que deux points voisins immédiats tendent à prendre la même valeur, mais cet ordre est contrecarré par l'agitation thermique. À l'équilibre thermodynamique et lorsque la température est inférieure à une certaine valeur critique, une majorité de points du réseau adoptent la même valeur, ce qui correspond dans le cas du magnétisme à l'émergence spontanée d'une aimantation.
Bonne lecture.
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girdav
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Re: Deux français reçoivent la médaille Fields

Message non lu par girdav »

Le fameux "arbre qui cache la forêt" est tout de même assez imposant.
OG
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Re: Deux français reçoivent la médaille Fields

Message non lu par OG »

Bonsoir,

Mercredi 1er septembre à 19h20 : "Le téléphone sonne" sur France Inter.
Questions sur l'excellence des mathématiques françaises de haut niveau...
http://sites.radiofrance.fr/franceinter ... p?id=94709

Cédric Villani sur France info le 31 août : A quoi servent les mathématiques ?
http://www.france-info.com/chroniques-l ... he=villani

Bonne soirée,
O.G.
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