Deux fonctions égales sur un intervalle sont égales sur R ?

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dhahri

Deux fonctions égales sur un intervalle sont égales sur R ?

Message non lu par dhahri »

Bonjour, Je suis en train de démontrer un résultat. Je fait le raisonnement suivant qui me semble faux mais je trouve pas la faute. Si quelqu'un peut me signaler le passage faux ou me dire si mon raisonnement est correcte.

On sait que les polynomes de Legendre forment une base orthogonale de $L^{2}[-1,1]$ et on sait que la restriction de toute fonction analytique f sur $[-1,1]$ est dans $L^{2}[-1,1]$. Il s'ensuit que
$$f(t)=\displaystyle{\sum_{n\in N}a_{n}P_{n}(t)}$$ pour $t\in [-1,1]$
Si on applique la transformée de Fourier à cette dernière égalité on obtient l'égalité suivante [on a le droit d'appliquer la transformée de Fourier à f car par hypothese $f\in L^{2}(R)$]
$$\hat{f}(w)=\displaystyle{\sum_{n\in N}a_{n}\hat{P}_{n}(w)}$$ qui est vraie pour $w\in R$
En appliquant la transformée de Fourier inverse à cette dernière égalité on obtient:
$$f(t)=\displaystyle{\sum_{n\in N}a_{n}P_{n}(t)}$$ pour $t\in R$.
Alors qu'on est parti de cette meme égalité mais sur [-1,1]?
Merci bien pour vos remarques?
Rémi
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Message non lu par Rémi »

Je t'avoue tout de suite que je ne me souviens plus bien des choses genre $L^2$. Ceci dit tu dit :" $f\in L^2(\mathbb{R}$ par hypothèse". A priori non pas directement d'après ce que j'ai lu. Tu le déduis forcément d'autre chose, non ?
Ensuite je ne suis pas très au point non plus sur la transformée de Fourier mais tu n'as pas justifié l'utilisation de la transformée de Fourier inverse.

Le problème n'est peut-être pas là mais tu peux toujours essayer de regarder ça.
dhahri

Message non lu par dhahri »

merci en tout cas pour la réponse. mais f est par hypothèse de carré intégrable.
Merci encore une autre fois
kilébo
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Message non lu par kilébo »

dhahri,

J'aimerais pouvoir t'aider (dans la mesure de mes moyens) mais tu ne donnes aucune indication sur les hypothèse de départ de ta fonction. On est très vite perdu. Par ex, ta fonction est supposée analytique ? Carré intégrable ?

Bref, citue-nous le contexte et nous essairons de t'aider.
la main gauche

Message non lu par la main gauche »

1. Dans ta première formule, les polynômes de Legendre $P_n$ représentent en fait $P_n \times \chi$, où $\chi$ est la donction indicatrice de l'intervalle $[-1,1$]. Dans ta dernière égalité, ils représentent vraiment $P_n$, ie. la fonction définie sur $R$. Tu as écrit sans faire attention $Fourier^{-1}Fourier(P_n \times \chi) = P_n$, ce qui est faux au moins parceque $P_n \not\in L2R$.

2. Les fonctions analytiques sur [-1,1] ... tu veux dire sur ]-1,1[ ?

3. La convergence L2 n'implique pas forcément la convergence ponctuelle, la propriété de base orthogonale te garantit qu'il existe des réels $a_n$ tels que la série de fonctions de terme général $a_n P_n (\times \chi)$ est convergente dans L2 vers $f$. Cela n'entraîne pas en général la convergence ponctuelle, i.e. l'égalité qui te sert à tort de point de départ. Tu tutilises dans ton calcul que ton la transformée de Fourier est une isométrie de L2, et en particulier une fonction continue pour distribuer le chapeau sur les termes de la série.
dhahri

Message non lu par dhahri »

Bon, tu as raison la main gauche,on a bien
$Fourier^{-1}Fourier(P_n \times \chi) = P_n$. Donc à priori c'est ce passage qui est faux. Mais j'ai changé de raisonnement et voila le nouveau:
On sait que les polynomes de Legendre forment une base orthogonale de $L^{2}[-1,1]$ et on sait que la restriction de toute fonction analytique f sur $[-1,1]$ est dans $L^{2}[-1,1]$. Il s'ensuit que
$$f(t)=\displaystyle{\sum_{n\in N}a_{n}P_{n}(t)}$$ pour $t\in [-1,1]$
Par hypothèse ma fonction f est analytique. Donc les deux fonction de la dernière égalité sont analytiques et elle coincide sur un intervalle [-1,1]. Donc elle coincident partout, c'est à dire sur IR tout entier. et comme ça on passe de [-1,1] à IR, ce qui ne va pas en principe. Ou est la faute?
Merci pour vos remarque
la main gauche

Message non lu par la main gauche »

la main gauche a écrit :3. La convergence L2 n'implique pas forcément la convergence ponctuelle, la propriété de base orthogonale te garantit qu'il existe des réels $a_n$ tels que la série de fonctions de terme général $a_n P_n (\times \chi)$ est convergente dans L2 vers $f$. Cela n'entraîne pas en général la convergence ponctuelle, i.e. l'égalité qui te sert à tort de point de départ.
Tu n'as pas prouvé que $f(t) = \sum a_n P_n(t)$ pour tout $t$, et même pas que la série de droite est convergente ponctuellement. (elle est convergente dans L2). Rien ne prouve que le membre de droite définisse une fonction analytique; tu devrais téeclaircir un peu l'esprit sur les notions de
  • convergence ponctuelle, ou convergence simple; c'est la convergence dans l'espace topologique de toutes les fonctions de truc dans C;
  • convergence compacte, c'est la convergence dans l'espace métrique complet des fonctions analytiques sur un ouvert de C;
  • convergence en moyenne quadratique, c'est la convergence dans l'espace métrique complet L2 -1,1
manut

Message non lu par manut »

ton erreur est quand tu appliques la transf. de Fourier :
d'abord, je pense que tu appliques la T de Fourier standard, qui transforme une fonction f DEFINIE SUR R TOUT ENTIER en une certaine fonction f_chapeau, definie sur R tout entier (f etant au moins L^2).

Or toi tu l'appliques a un truc defini sur (-1,1) seulement !
Ce n'est pas coherent.
D'ou ton erreur bien sur quand tu appliques Fourier inverse.



Si tu te restreignais a une T. de Fourier qui s'applique a des fonctions definies sur (-1,1), bien sur tu n'aurais pas cette incoherence en appliquant ensuite Fourier inverse.


a+,
dhahri

Message non lu par dhahri »

Merci à tous pour vos remarques. Et qu'est ce que vous pensez si je change mon raisonnement completement pour affirmer ce que vous m'avez dit que c'est faux:

j'ai déja montré dans le premier message posté que :
$$f(t)=\displaystyle{\sum_{n\in N}a_{n}P_{n}(t)}$$ pour $t\in [-1,1]$.
Si on regarde les deux fonctions de cette dernière égalité: f est analytique sur $R$ et parsuite sur $[-1,1]$ (parce que ma fonction est à bande limitée), la foncion:
$$t\mapsto \displaystyle{\sum_{n\in N}a_{n}P_{n}(t)}$$ est analytiques sur $[-1,1]$.
Et on sait que deux fonctions analytiques qui coincident sur un intervalle I coincident partout. c'est à dire on a l'égalité sur $R$ au lieu de $[-1,1]$.

Je ne sait pas si mon deuxième raisonnement est faut lui aussi ou non?
Merci bien davantage por vos commentaires
la main gauche

Message non lu par la main gauche »

dhahri a écrit :j'ai déja montré dans le premier message posté que :
$$f(t)=\displaystyle{\sum_{n\in N}a_{n}P_{n}(t)}$$ pour $t\in [-1,1]$.
Pour la troisième fois: non tu ne l'as pas démontré.
manut

Message non lu par manut »

Attention Dhari, cette egalite dont tu parles, $f(t)=\sum a_n P_n(t)$,
est vraie AU SENS $L^2$ SEULEMENT !
En effet, tu utilises le fait que tu as une base Hilbertienne de $L^2$, formee par les $P_n$. Donc, cette egalite n'a pas du tout lieu POINT PAR POINT ! Elle signifie juste que
LA NORME $L^2$ de $f - \sum a_n P_n$ EST NULLE !

Et donc, on peut seulement affirmer que l'egalite dont tu parles est vraie PRESQUE PARTOUT SUR $[-1,1]$. Mais rien de plus.

Dans ces conditions, impossible d'appliquer l'argument que tu invoques sur les fonctions analytiques.
(tu ne pourrais l'appliquer que si tu savais que l'egalite a lieu au moins sur un ouvert)

Cela repond-il a ta question ?

a+

[Edit Arnaud : LaTeX pour que ce soit lisible]
dhahri

Message non lu par dhahri »

Merci bien pour vos réponses. Il me semble qu'on est pas sur la même longueur d'onde. En effet, je suis completement d'accord avec vous que mon égalité sur
[-1,1] est presque partout et non pas partout. Mais j'ai dit que ma fonction f est analytique, donc continue et de même pour le deuxième membre. et deux fonction continues qui coincident presque partout coincident partout. Je ne me trompe pas non????????????
la main gauche

Message non lu par la main gauche »

Il faut d'abord prouver que le second membre définit une fonction analytique sur ]-1,1[, ce qui ne va pas forcément de soi.

Pour ma part je n'arrive pas à faire mieux que ça:

La suite $S$ des sommes partielles de la série cv dans L2, il y a donc une sous-suite de S est un ensemble A de mesure nulle dans $]-1,1[$ tq
$$
x \not\in A \implies \lim_n S_n(x) = f(x)
$$
manut

Message non lu par manut »

D'accord avec la main gauche.
Le membre de droite ne definit meme pas forcement une fonction continue. Pour cela il faudrait montrer une uniforme convergence, ce qui est probablement faux ici.
De plus si de telles sommes etaient continues alors tu montrerais que toute fonction de L^2 (qui admet une telle decomposition) est continue !

D'ou ton paradoxe semble-t-il.
(et ok, on n'etait pas en effet sur la meme longueur d'onde... Ce sont les inconvenients des communications indirectes...)

a+,
dhahri

Message non lu par dhahri »

Un peu convaincu vu cette dernière chose qui me gène. Vous dites que la fonction de gauche (la série) n'est pas continue et rien ne nous affirme qu'elle est continue. Mais
$$\sum_{n\in N}a_{n}P_{n}(t)=\sum_{n\in N}b_{n}t^{n}$$
et la série de droite est une série entière donc continue et par suite celle de gauche l'est aussi. En fin on a f est continue et la série qui est égale à f presque partout est continue. Conclusion faite
$$f(t)=\sum_{n\in N}a_{n}P_{n}(t)$$ pour tout $t\in [-1,1]$ et par suite cette dernière égalité reste correcte sur IR. ( si 2 fonctions analytiques coïncident sur un intervalle elles coïncident partout)
Merci pour vos remarques
la main gauche

Message non lu par la main gauche »

à supposer que pour un certain $t$ la série de gauche converge, comment justifies-tu

$$\sum_{n\in N}a_{n}P_{n}(t)=\sum_{n\in N}b_{n}t^{n}$$

i.e. le regroupement des termes en paquets infinis?
dhahri

Message non lu par dhahri »

Vous avez parfaitement raison, je viens juste de découvrir que je disait des conneries. et c'est grace à vos interventions que j'ai pu découvrir ça.
Merci mille fois
manut

Message non lu par manut »

Pas de pb !
C'est tres bon pour tout le monde de se poser des questions et de se creuser un peu...
Il ne faut jamais avoir honte d'avoir dit une betise (moi j'en dis souvent aussi...), on apprend souvent beaucoup de choses comme ca !

a+,