Axiome du choix

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michelll

Axiome du choix

Message non lu par michelll »

Soit $A_i$ une famille d ensembles finis non vides. Y a t il besoin de l axiome du choix pour dire que $\prod A_i \neq \varnothing$.

Rappel de l axiome du choix
si $(A_i)$ est une famille non vide d ensembles non vides, alors $\prod A_i \neq \varnothing$.

( $\prod A_i $ est l ensemble des familles $(a_i)$ d elements de $A_i$ )

Je sais qu il le faut en general (meme si les $A_i$ sont finis). Mais tous commentaires ou explications, cas particuliers (ou il n y a pas besoin de l axiome) sont le bien venus !

Essayer de demontrer l axiome n a pas de sens, mais il est interessant de voir ou le raisonnement de la demonstration bloque...

Merci
jobherzt
Utilisateur éprouvé
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Messages : 433
Inscription : vendredi 13 janvier 2006, 13:13

Message non lu par jobherzt »

ca n'est pas tant le fait que les $A_i$ soient finis qui compte, mais plutot le fait que le produit soit fini. si le produit est fini, il n'y a aucun probleme.

ceci dit, en genral, si les $A_i$ sont finis, ls admettent un plus petit élément, donc on dispose d'une fonction de choix naturelle, donc pas besoin d'axiome.

par contre, ton message semble se contredire, ou plutot tu poses une question et tu y repond derriere.. ou alors je n'ai pas compris !
Bruno

Ensembles finis.

Message non lu par Bruno »

Pas tout à fait, jobhertz. Si tu as des ensembles finis, ceux-ci ne sont pas a priori munis d'une relation d'ordre et le raisonnement ne marche pas. C'est un produit d'ensembles bien ordonnée non vides qui n'est à coup sur pas vide car on choisit le plus petit élément de chacun.
michelll

Message non lu par michelll »

C'est ca !
Le fait que $\prod_i \{0,1\}\neq \varnothing$
n'utilise pas l'axiome, mais si l'on a pas "choisi" d'ordre sur chacune des parties finies, il le faut...

En quoi le raisonnement suivant est il faut :

Soit $A_i$ une famille de parties non vide. Soit $i\in I$. Comme $A_i\neq \varnothing$, il existe $a_i \in A_i$. Alors $(a_i) \in \prod A_i$ donc $\prod A_i \neq \varnothing$ !
Chercher le problemes...Comme quoi faut vraiment faire attention dans les raisonnements mathématiques...

Michel
Bruno

Message non lu par Bruno »

Bonjour michelli.

Le raisonnement est séduisant, mais rien ne prouve que l'objet $\{a_i\mid i\in I\}$ soit un ensemble sauf si $I$ est fini ou si un axiome l'impose. Disons que considérer a priori cet objet comme un ensemble repose sur une application intuitive, mais erronée, du schéma de compréhension.
michelll

Message non lu par michelll »

Cependant il est a faire remarquer que $\{ai \in Ai \colon i\in I \}$ est bien un ensemble. L axiome du choix pretend qu il n est pas vide.

++
michelll

Message non lu par michelll »

abus de notation $\{ai \in Ai \colon i \in I \}:=\{(i,ai)\in I \times \cup Ai \colon ai \in Ai \}$...
Bruno

Message non lu par Bruno »

Qu'est-ce qui te permet de prétendre que $\{a_i\mid i \in I\}$ est un ensemble ? Le schéma de substitution demande une formule à deux variables $f(i,y)$ fonctionnelle en $y$ pour obtenir un ensemble, or tu n'as pas une telle formule.
michelll

Message non lu par michelll »

je n ais pas dit cela.
Bruno

Message non lu par Bruno »

michelll a écrit :Cependant il est a faire remarquer que $\{ai \in Ai \colon i\in I \}$ $\text{\bf est bien un ensemble}$. L axiome du choix pretend qu il n est pas vide.

++
Alors je ne comprnds pas.
michelll

Message non lu par michelll »

Relis ma note abus de notation... ton ..ensemble.. represente (il me semble) la fonction mal definie ds ma fausse preuve :roll:

L ensemble dont je parle existe ( mais est peut etre vide) c est l ensemble de toutes les fonctions de I dans $\cup Ai$ verifiant $f(i) \in Ai$. Est ce que tu es d accord ?

Je pense que tu disais simplement ds ta premiere explication que ma fonction n etait pas bien definie, ce qui est vrai.
Bruno

Message non lu par Bruno »

D'accord, l'ensemble $\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)^I$ existe, mais sans l'axiome de choix, on ne peux pas prouver que le sous-ensemble des fonctions de choix n'est pas vide.
michelll

Message non lu par michelll »

meme le sous ensemble des elements de l enseble dont tu parles, avec la condition f(i) dans Ai existe...mais peut etre vide.

je penses qu on a fait le (un) tour de la question...

a plus