Sur les traces de Galois ...
Sur les traces de Galois ...
Bonjour à tous,
alors voila j'essaye de comprendre les bases de la théorie de Galois mais pas dans son formalisme moderne, plus de la façon dont Galois lui-même a posé ses idées . Donc j'essaye de défricher son "mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux" , et je bute sur un point.
Galois commence par dire que, si $a,b,c,...$ sont les racines (distinctes) d'un polynôme, alors on peut former une fonction $\phi$ de ces racines qui ne prenne jamais deux fois la même valeur lorsqu'on permute ces racines de toutes les façons possibles. Bon, passons sur l'existence d'une telle fonction, que Galois "démontre" très sommairement, pour passer au lemme suivant : toutes les racines $a,b,c,...$ se déduisent rationnellement d'une valeur particulière de cette fonction (je pense que par là, il veut dire qu'il existe une formule algébrique reliant une valeur particulière de $\phi$ à chacune des racines).
Donc soit $V = \phi (a,b,c,...)$ . Galois forme le produit $(V - \phi(a,b,c,...))(V - \phi(a,c,b,...)) ... = 0$ où les termes du produit s'obtiennent en permutant les racines de toutes les façons possibles, sauf la première. Dans cette expression, on peut échanger $b$ et $c$ sans changer le résultat ; idem pour $b$ et $d$, $c$ et $d$, etc ... bref l'expression est "symétrique en $b,c,d,...$ " . Jusque là tout va bien, mais Galois écrit ensuite que l'expression "pourra, par conséquent, s'écrire en fonction de $a$ ; nous aurons donc une équation de la forme $F(V,a) = 0$" .
??? Malgré mes tentatives sur des exemples je n'arrive toujours pas à comprendre en quoi la symétrie par permutation des racines autres que $a$ fait disparaître la dépendance en ces racines ... Et je ne trouve désespérément rien qui puisse répondre à cette question ...
alors voila j'essaye de comprendre les bases de la théorie de Galois mais pas dans son formalisme moderne, plus de la façon dont Galois lui-même a posé ses idées . Donc j'essaye de défricher son "mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux" , et je bute sur un point.
Galois commence par dire que, si $a,b,c,...$ sont les racines (distinctes) d'un polynôme, alors on peut former une fonction $\phi$ de ces racines qui ne prenne jamais deux fois la même valeur lorsqu'on permute ces racines de toutes les façons possibles. Bon, passons sur l'existence d'une telle fonction, que Galois "démontre" très sommairement, pour passer au lemme suivant : toutes les racines $a,b,c,...$ se déduisent rationnellement d'une valeur particulière de cette fonction (je pense que par là, il veut dire qu'il existe une formule algébrique reliant une valeur particulière de $\phi$ à chacune des racines).
Donc soit $V = \phi (a,b,c,...)$ . Galois forme le produit $(V - \phi(a,b,c,...))(V - \phi(a,c,b,...)) ... = 0$ où les termes du produit s'obtiennent en permutant les racines de toutes les façons possibles, sauf la première. Dans cette expression, on peut échanger $b$ et $c$ sans changer le résultat ; idem pour $b$ et $d$, $c$ et $d$, etc ... bref l'expression est "symétrique en $b,c,d,...$ " . Jusque là tout va bien, mais Galois écrit ensuite que l'expression "pourra, par conséquent, s'écrire en fonction de $a$ ; nous aurons donc une équation de la forme $F(V,a) = 0$" .
??? Malgré mes tentatives sur des exemples je n'arrive toujours pas à comprendre en quoi la symétrie par permutation des racines autres que $a$ fait disparaître la dépendance en ces racines ... Et je ne trouve désespérément rien qui puisse répondre à cette question ...
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Re: Sur les traces de Galois ...
Galois est réputé (déjà de son vivant...) pour ne pas être d'une lecture facile, voir elliptique. De plus le mémoire sur la résobilité des équations fait partis des textes particulièrement obscurs de Galois. Je pense que les livres suivants te seront d'une aide précieuse pour comprendre Évariste dans le texte :
Evariste Galois : La fabrication d'une icône mathématique de Caroline Ehrhardt (Broché - 20 octobre 2011)
Acheter neuf: EUR 28,50 EUR 27,07
Galois : Le mathématicien maudit de Norbert Verdier (Broché - 27 juin 2011)
Acheter neuf: EUR 18,00 EUR 17,10
Evariste Galois : Un génie romantique : La théorie de Galois, par Galois, N°60 de Equipe Tangente et Gérard Cohen-Zardi (Broché - 6 juin 2011)
Acheter neuf: EUR 6,80 EUR 6,46
Le site imagesdes maths propose aussi un dossier sur Galois.
Olivier
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Evariste Galois : Un génie romantique : La théorie de Galois, par Galois, N°60 de Equipe Tangente et Gérard Cohen-Zardi (Broché - 6 juin 2011)
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Le site imagesdes maths propose aussi un dossier sur Galois.
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Re: Sur les traces de Galois ...
Merci pour ces références .
Effectivement le texte en ligne le plus proche de ce que je recherchais était de C. Ehrhart (http://www.bibnum.education.fr/files/GA ... RHARDT.pdf) , malheureusement elle ne donne pas d'exemple pour ce lemme III (la fonction V qu'elle cite, la "résolvante", est au contraire invariante par permutation) . L'article "théorie de Galois à l'origine" de wikipedia n'est pas plus explicite, puisqu'il reprend le texte de Galois sans l'éclaircir (sous "théorème de l'élément primitif", on retrouve ce fait présenté comme une évidence que puisque l'équation est symétrique en toutes les racines sauf une, alors elle ne dépend pus que de cette dernière, et même dans la page discussion ça ne fait tiquer personne ).
Je cite wikipedia :
Je vais donc tenter de me pencher sur ces ouvrages. Merci encore !
Effectivement le texte en ligne le plus proche de ce que je recherchais était de C. Ehrhart (http://www.bibnum.education.fr/files/GA ... RHARDT.pdf) , malheureusement elle ne donne pas d'exemple pour ce lemme III (la fonction V qu'elle cite, la "résolvante", est au contraire invariante par permutation) . L'article "théorie de Galois à l'origine" de wikipedia n'est pas plus explicite, puisqu'il reprend le texte de Galois sans l'éclaircir (sous "théorème de l'élément primitif", on retrouve ce fait présenté comme une évidence que puisque l'équation est symétrique en toutes les racines sauf une, alors elle ne dépend pus que de cette dernière, et même dans la page discussion ça ne fait tiquer personne ).
Je cite wikipedia :
Bin oui ça a l'air tellement évident !! On glisse ça au passage, suivi d'un bon Q.E.D à la fin, et hop ça y est c'est démontré :x Non je dois certainement rater un truc tout bête mais quoi ??Soit $n$, le degré du polynôme $P$, On appelle $\phi\left(\alpha_1,...,\alpha_n\right)\,$, où $\alpha_i\,$ sont les $n\,$ racines du polynôme $P\,$, [un polynôme décrivant des valeurs toutes distinctes par permutations des racines]. L'expression $\prod_{\sigma\in S_n,\sigma1=1}\left(V-\phi\left(\alpha_{\sigma 1},...,\alpha_{\sigma n}\right)\right)\,$, est invariante pour toutes les permutations des racines autres que la première et peut donc s'exprimer en un polynôme en $V\,$ et $\alpha_1\,$.
Je vais donc tenter de me pencher sur ces ouvrages. Merci encore !
Re: Sur les traces de Galois ...
Bon, je crois que j'ai compris.
Au passage un très bon texte sur le sujet :
http://www.alainconnes.org/docs/galoistext.pdf
Alors, le produit dont il est question s'écrit comme polynôme en $V$, dont chacun des coefficients est à son tour un polynôme symétrique en toutes ses indéterminées sauf la première, $a$ (pour peu qu'on choisisse $\phi$ polynomiale ... Ce n'est pas précisé mais je pense que c'est nécessaire) . Chacun de ces coefficients $p_k$ peut à son tour s'écrire comme un polynôme en $a$ : $p_k(a;b,c,d,...) = \sum_i c_{k,i}(b,c,d...) a^i$ dont chaque coefficient est cette fois-ci parfaitement symétrique. Chacun des $c$ peut donc s'écrire en termes des fonctions symétriques élémentaires $\sigma'$ en $b,c,d, ... $ , et le truc est alors de voir qu'on peut écrire les $\sigma'$ en fonction de $a$ et des fonctions symétriques élémentaires $\sigma$ en $a,b,c,d, ...$ , donc en fonction des coefficients de la "proposée" (le polynôme de départ dont $a,b,c, ...$ sont les racines) . En effet on a :
$\sigma_1 = a + (b + c + d + ...) = a + \sigma_1'$,
$\sigma_2 = ab + ac + ad + b c + b d + cd + ... $ $=$ $ a(b + c + d + ...) + b c + b d + cd + ... = a(\sigma_1 - a) + \sigma_2'$
$\sigma_3 = a\sigma_2' + \sigma_3' = a(\sigma_2 - a(\sigma_1 - a)) + \sigma_3'$
et ainsi de suite ...
Bon, c'était bien laborieux tout ça. Y'a qu'à moi que ça semble pas évident ou bien ?
Au passage un très bon texte sur le sujet :
http://www.alainconnes.org/docs/galoistext.pdf
Alors, le produit dont il est question s'écrit comme polynôme en $V$, dont chacun des coefficients est à son tour un polynôme symétrique en toutes ses indéterminées sauf la première, $a$ (pour peu qu'on choisisse $\phi$ polynomiale ... Ce n'est pas précisé mais je pense que c'est nécessaire) . Chacun de ces coefficients $p_k$ peut à son tour s'écrire comme un polynôme en $a$ : $p_k(a;b,c,d,...) = \sum_i c_{k,i}(b,c,d...) a^i$ dont chaque coefficient est cette fois-ci parfaitement symétrique. Chacun des $c$ peut donc s'écrire en termes des fonctions symétriques élémentaires $\sigma'$ en $b,c,d, ... $ , et le truc est alors de voir qu'on peut écrire les $\sigma'$ en fonction de $a$ et des fonctions symétriques élémentaires $\sigma$ en $a,b,c,d, ...$ , donc en fonction des coefficients de la "proposée" (le polynôme de départ dont $a,b,c, ...$ sont les racines) . En effet on a :
$\sigma_1 = a + (b + c + d + ...) = a + \sigma_1'$,
$\sigma_2 = ab + ac + ad + b c + b d + cd + ... $ $=$ $ a(b + c + d + ...) + b c + b d + cd + ... = a(\sigma_1 - a) + \sigma_2'$
$\sigma_3 = a\sigma_2' + \sigma_3' = a(\sigma_2 - a(\sigma_1 - a)) + \sigma_3'$
et ainsi de suite ...
Bon, c'était bien laborieux tout ça. Y'a qu'à moi que ça semble pas évident ou bien ?
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Re: Sur les traces de Galois ...
Non, je te rassure. Si l'explication viens de Connes, c'est que ce n'est pas immédiat.
Si tu es parisien, il y a un séminaire sur Galois à paris VIII. Je te colles l'annonce :
Olivier
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Tu pourras poser toutes les questions que tu veux...
Caroline Ehrhardt (EHESS) : Réélaborations du mémoire de Galois sur les équations au XIXe siècle
Une fois qu’ils ont été publiés dans le Journal de Liouville en 1846, les travaux de Galois ont attiré l’attention de nombreux mathématiciens. Galois, lorsqu’il présentait son travail, évoquait une « thèse générale » dont ses travaux achevés étaient une application. Son Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux s’ouvre ainsi sur l’affirmation qu’il donne dans ce travail, « sous forme synthétique, les principes généraux et une seule application » de sa théorie. Mais cela n’a rien d’évident de voir véritablement une « théorie » dans les textes de Galois qui nous sont parvenus. Une des raisons pour lesquelles ces écrits peuvent avoir un caractère d’évidence pour les mathématiciens d’aujourd’hui, au sens où on y reconnaît quelque chose de familier, est à chercher dans le fait que d’autres que Galois ont conservé à ses travaux une forme d’actualité en les retravaillant sans cesse depuis plus de 150 ans. Dans cette communication, je m’intéresserai à la manière par laquelle d’autres mathématiciens que Galois ont développé une théorie, qu’ils ont appelé théorie de Galois en hommage à celui-ci. Il s’agira de comprendre comment le travail menés par différents mathématiciens sur un même texte a pu conduire à des interprétations différentes de ce dernier, et, comment, dans un second temps, on a pu aboutir à une théorie suffisamment stable pour que les mathématiciens de la génération suivante, disons dans les années 1880-1900, puissent travailler ensemble et dialoguer à son sujet, même s’il ne partageaient pas tous exactement la même vision de ce qu’était « la » théorie de Galois.
Les séances ont lieu le jeudi entre 13h30 et 14h45 en salle A148
Batiment A de l'université Paris 8 Vincennes à St Denis.
Pour une description de la route ainsi que le programme entier du
séminaire, voir aussi:
http://ufr6.univ-paris8.fr/Math/sitemat ... article128
Olivier
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Re: Sur les traces de Galois ...
Bin sur ce point précis Connes n'a pas été beaucoup plus dans les détails mais curieusement, ça m'a débloqué ... Le tilt quoi, la petite étincelle qu'on passe notre temps à traquer ^^ Bref ça m'a l'air bien intéressant tout ça malheureusement pour moi Paris c'est pas la porte à côté. J'essaierai d'y envoyer un émissaire ...
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Re: Sur les traces de Galois ...
C'est bien d'avoir des émissaires. Tu les trouves où ? En fait non, c'est pas des émissaires qu'il me faut, mais un clone qui me permettrait de faire plusieurs choses à la fois.Noah a écrit :Bin sur ce point précis Connes n'a pas été beaucoup plus dans les détails mais curieusement, ça m'a débloqué ... Le tilt quoi, la petite étincelle qu'on passe notre temps à traquer ^^ Bref ça m'a l'air bien intéressant tout ça malheureusement pour moi Paris c'est pas la porte à côté. J'essaierai d'y envoyer un émissaire ...
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Re: Sur les traces de Galois ...
Sur emissaire.fr héhé ^^ non je plaisante, je connais des gens là-bas, le plus dur va être de les convaincre d'aller à une conférence de maths ...
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Re: Sur les traces de Galois ...
Un concept à créer. Si cela se trouve c'est la bonne idée informatique de l'année ;-)Noah a écrit :Sur emissaire.fr héhé ^^
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