Erreur sur la moyenne

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Biot

Erreur sur la moyenne

Message non lu par Biot »

Bonjour,

Y a t il des spécialiste en probabilité/ statistique dans la salle? :roll:

Voici mon problème: Supposons que l'on fasse plusieurs mesures d'un même phénomène X. L'incertitude relative que l'on fait sur une mesure est notée dX/X

Si l'on fait la moyenne des mesures Xi, y aura-t-il une l'influence sur l'incertitude relative et si oui comment peut on la calculer?

Bon alors pour info il ne s'agit pas d'un problème de math que j'essaie de vous faire resoudre à ma place :D
guiguiche
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Message non lu par guiguiche »

Déjà, j'ai besoin que l'on m'explique des choses : si j'ai deux mesures $X_1$ et $X_2$, alors comment calcule-t-on $dx/X$ ? Est-ce $(X_1-X_2)/X_1$, ou bien $(X_1-X_2)/X_2$, ou bien $(X_1-X_2)/\bar{X}$, ou bien $(\bar{X}-X_1)/\bar{X}$ où $X=(X_1+X_2)/2$ ?
Biot

Message non lu par Biot »

En fait, le dX/X est l'incertitude relative sur la mesure. Donc en fait je fait une mesure X1 d'une grandeur X avec une incertitude +/- dX. En somme, les mesures se situent dans un interval [X-dX; X+dX].
Et je voudrais savoir si en faisant une moyenne (type RMS) sur n mesures de X on peut espérer diminuer cette interval d'incertitude.

Merci pour ta (rapide) réponse.

Biot

ps: désolé de pas utiliser le latex, pas le courage de me replonger dedans pour le moment.
jobherzt
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Message non lu par jobherzt »

une idee non debile me semble t il :

par definition de ton incertitude : si $X$ est la valeur que tu cherches, et que tu fais differentes mesures $X_1,X_2,\dots$ de cette meme grandeur, alors :

$$\forall i, X\in [X_i-d_X_i;X_i+d_X_i]$$

donc en faisant l'intersection de tous ces intervalles, tu reduiras sensiblement ton erreur. tu obtiendras un nouvel interval dont il suffira e prendre le milieu.
Biot

Message non lu par Biot »

Oui judicieuse remarque. Maintenant si je considère qu'une moyenne sur mes n mesures me donne une bonne approximation de la valeur réelle de X, l'intervalle d'incertitude sur cette moyenne est donc l'intersection de ces intervalles non? Ceci devrait impliquer par ailleurs d'éliminer les mesures trop éloignées de la moyenne.

As tu une idée d'une manière théorique de calculer cet intervalle d'incertitude? Je dis bien théorique car en fait ce qui m'interesse c'est de savoir si je peux affirmer :

<<l'incertitude sur une mesure de X vaut dX donc si j'approxime X par X' (avec X' est la moyenne sur n mesures de X) l'incertitude sur X' vaudra dX' >>

ou dX' sera une fonction de dX et de n.



les gars, je me casse la tête, j'espère que je ne vous casse pas les :!: :!: :!: .... :oops:
jobherzt
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Message non lu par jobherzt »

Je ne crois pas qu'il y ait besoin de calculer la moyenne. je ne suis meme pas sur que cela a un sens. quan tu dis : "j'ai trouvé que X vaut A +/- dA, ca veut dire que X peut etre n'importe quelle valeur de [A-dA;A+dA]. et tu n'a pas de raison de penser qu'elle est plus pres d'une valeur que les autres. donc tes valeurs mesurées ne servent qu'en ce qu'ils sont les centres de tes intervalles.. tu calcules l'intersection de ces intervalles, et tu prends le milieu de cet nterval pour ta valeur..

et je ne compres pas ta question : cet intervalle d'inecrtitude c'est toi meme qui nous l'a donné ?? tu as une mesure et l'erreur sur cette mesure, donc tu as ton intervalle.
guiguiche
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Message non lu par guiguiche »

Je crois que tout ceci est lié au théorème "central limit" et à la notion d'intervalle de confiance.
jobherzt
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Message non lu par jobherzt »

au passagen on peut meme fitter des points en prenant l'intersection d'approximation des images reciproques des intervalles mesurés par la fonction modèle :P
Biot

Message non lu par Biot »

Pour eclaircir un peu les choses, voici le contexte dans lequel je me trouve:

Je dois faire une mesure d'une certaine grandeur. Cette grandeur subit plusieurs transformations, chacune étant sujette à une imprécision, je peux déduire l'imprécision totale sur ma mesure:
Soit X la grandeur à mesurer,
X=A*B (pour simplifier je ne mets ici que deux facteurs)
l'erreur relative vaut:
dX/X= ((dA/A)^2+(dB/B)^2)^0.5

maintenant, pour mieux approcher ma valeur X, je procède à n mesures de X et j'en prends la moyenne. Je peux donc raisonnablement penser que ma moyenne X' est une meilleure approximation de X que ne le sont les Xi pris séparement, et ce d'autant plus que n est élevé.
Par contre ce que j'aimerais pouvoir dire, c'est ce que vaut mon incertitude sur X'. Donc de quelle manière la moyenne des échantillons réduit l'incertitude?
linfir

Message non lu par linfir »

Le théorème central limite (évoqué plus haut) dit, en très gros, que l'erreur relative en faisant la moyenne sur $n$ mesures indépendantes sera divisée par $\sqrt{n}$.

Sinon, avec $X=A\times B$, ne devrait-on pas avoir $\frac{dX}{X}=\frac{dA}{A}+\frac{dB}{B}$ ?
Biot

Message non lu par Biot »

Ok merci. J'ai été me rafraichir la mémoire au sujet du théorème central limite ( :oops: ). Je commence à me poser des questions sur la pertinence de ma demarche.
Cette erreur relative peut elle etre considérée comme une variance (et donc etre divisée par racine de n) ? J'en suis de moins en moins sur. Par exemple, un des facteurs entrant de le calcul de dX/X correspond à la précision de mesure d'une puissance par une sonde. L'erreur commise par cette limitation n'est pas une variance, et donc mon raisonnement est caduc.

pour ce qui de ta remarque sur dX/X, linfir: X = A x B mais ces facteur sont indépendants, donc les dA et dB seront perpendiculaires. En vertu du théorème de pythagore, dX vaut la racine carré de la somme des carrés. Ou je me trompe?

Sinon au cas ou je m'embarquerais dans des questions qui dépassent le cadre de ce forum, veuillez me l'indiquer, je ne me vexerai pas. En tout cas merci pour vos commentaires, c'est chouette de pouvoir réflechir à plusieurs la dessus. Je vais peut etre finir par y voir plus clair.