Dérivée droite et dérivée partielle

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jg2m2010
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Dérivée droite et dérivée partielle

Message non lu par jg2m2010 »

Bonjour,

J'ai été un peu étonné d'apprendre (ou de réapprendre - peut-être l'avais-je oublier) que la dérivée droite par rapport à $x$ d'une fonction de plusieurs variables $f(x,y)$ n'était pas forcément égale à la dérivée partielle de $f$ par rapport à $x$ !

J'ai trouvé cet exemple sur Internet :
$\LARGE{F(x,y) = x^2y}$ où $y=x$
Donc $\LARGE{\frac{\partial F}{\partial x}=2x \times y = 2x^2}$
Et $\LARGE{\frac{dF}{dx}=3x^2}$
La personne qui donne cet exemple explique plus généralement que $\LARGE{\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{dF}{dx}}$ lorsque $y$ ne dépend pas de $x$ mais que cette égalité n'est pas forcément satisfaite lorsque $y$ dépend de $x$.

Qu'en pensez-vous ?
cpo

Re: Dérivée droite et dérivée partielle

Message non lu par cpo »

Bonjour,

Qu’est-ce que la dérivé droite d’une fonction de plusieurs variables ? Qu’est-ce que $\frac{dF}{dx}$ ?
jg2m2010
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Re: Dérivée droite et dérivée partielle

Message non lu par jg2m2010 »

Faut que je re-réfléchisse.

Je sais qu'il a en été plusieurs fois questions dans mes cours de cette année en physique. Faut que je retrouve les exemples.
nicolas reitmeier

Re: Dérivée droite et dérivée partielle

Message non lu par nicolas reitmeier »

jg2m2010 a écrit :Bonjour,

J'ai été un peu étonné d'apprendre (ou de réapprendre - peut-être l'avais-je oublier) que la dérivée droite par rapport à $x$ d'une fonction de plusieurs variables $f(x,y)$ n'était pas forcément égale à la dérivée partielle de $f$ par rapport à $x$ !

J'ai trouvé cet exemple sur Internet :
$\LARGE{F(x,y) = x^2y}$ où $y=x$
Donc $\LARGE{\frac{\partial F}{\partial x}=2x \times y = 2x^2}$
Et $\LARGE{\frac{dF}{dx}=3x^2}$
La personne qui donne cet exemple explique plus généralement que $\LARGE{\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{dF}{dx}}$ lorsque $y$ ne dépend pas de $x$ mais que cette égalité n'est pas forcément satisfaite lorsque $y$ dépend de $x$.

Qu'en pensez-vous ?

Je ne comprends pas, si y = x alors pas de dérivée partielle.

La dernière égalité est fausse, et ce n'est pas une question de dépendance entre x et y !
Mikelenain
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Re: Dérivée droite et dérivée partielle

Message non lu par Mikelenain »

nicolas reitmeier a écrit :Je ne comprends pas, si y = x alors pas de dérivée partielle.
/!\ ce n'est pas x=y mais x et y sont indépendants
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nicolas reitmeier

Re: Dérivée droite et dérivée partielle

Message non lu par nicolas reitmeier »

jg2m2010 a écrit : $\LARGE{F(x,y) = x^2y}$ où $y=x$
?
Mikelenain
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Re: Dérivée droite et dérivée partielle

Message non lu par Mikelenain »

ah, sorry ^^
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Tonn83
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Re: Dérivée droite et dérivée partielle

Message non lu par Tonn83 »

$\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(F(x,x)\right)=\frac{\partial F}{\partial x}\left(x,x\right)+\frac{\partial F}{\partial y}\left(x,x\right)$ ?
Tonn83
balf
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Re: Dérivée droite et dérivée partielle

Message non lu par balf »

Oui, à cause de la formule de différentiation d'une composée (on fait le produit des matrices jacobiennes, par exemple).

B.A.
Tonn83
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Re: Dérivée droite et dérivée partielle

Message non lu par Tonn83 »

Euh ... je ne posais pas la question de savoir si ma formule est vraie ou fausse, mais si cela troublait ou non jg2m2010.
Tonn83
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Re: Dérivée droite et dérivée partielle

Message non lu par jg2m2010 »

Alors !

Me revoilà. J'ai été particulièrement pris ces derniers temps et donc je n'ai pas pu poursuivre cette conversation.

En fait, il s'agit d'une différence entre dérivée totale et dérivée partielle. D'ailleurs, Tonn83, votre remarque m'intéresse, j'aimerais en savoir plus.

Je vous donne deux exemples que j'ai eu l'occasion de rencontrer (en pièce jointe)

Dîtes moi ce que vous pensez de ces exemples. Personnellement, ayant un peu de mal avec ces notions, je trouve certaines étapes assez logique du point de vue de l'homogénéité des grandeurs mais je pense pas être capable de refaire ces calculs de façon "instinctive"...
Pièces jointes
derivee_totale_partielle.pdf
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jg2m2010
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Re: Dérivée droite et dérivée partielle

Message non lu par jg2m2010 »

Je reviens après pas mal de semaines où j'ai encore été pas mal occupé.

J'ai peut-être trouvée une explication sur la différence entre dérivée ronde et dérivée droite. Du moins, c'est celle que l'on m'a donnée.

La voici en pièce jointe.

Qu'en pensez-vous ?
Pièces jointes
derivee_totale_partielle_idee.pdf
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