Equation dans Z

Discussions générales concernant les mathématiques.
[forum modéré par les modérateurs globaux du site]
Règles du forum
Merci de soigner la rédaction de vos messages et de consulter ce sujet avant de poster. Pensez également à utiliser la fonction recherche du forum.
ounis
Utilisateur débutant
Utilisateur débutant
Messages : 6
Inscription : lundi 04 juillet 2016, 12:09

Equation dans Z

Message par ounis »

Trouver tous les entiers relatifs $x$ tels que $x^4+x^3+x^2+x+1$ soit un carré parfait.
Rémi
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 168
Inscription : samedi 04 juin 2005, 19:39
Statut actuel : Autre

Re: Equation dans Z

Message par Rémi »

Quelles sont tes réflexions à ce sujet ?
MB
Administrateur
Administrateur
Messages : 7296
Inscription : samedi 28 mai 2005, 14:23
Statut actuel : Enseignant

Re: Equation dans Z

Message par MB »

Il s'agit d'un exercice ou d'une question ouverte ?
MB. (rejoignez pCloud afin d'obtenir 10Go de stockage en ligne gratuits)
Pas d'aide en message privé. Merci de consulter ce sujet avant de poster votre premier message.
gigiair
Utilisateur chevronné
Utilisateur chevronné
Messages : 2606
Inscription : samedi 08 juillet 2006, 20:56
Localisation : Saint Bonnet Elvert

Re: Equation dans Z

Message par gigiair »

Mon intuition masculine me dit qu'à part les solutions évidentes $x=0$, $x=-1$ et (moins évidente) 3 il n'y aurait pas de solution. Prouver une impossibilité, ce n'est que rarement un exercice élémentaire...
JJR.
LaTeXien migrateur.
evariste_G
Utilisateur chevronné
Utilisateur chevronné
Messages : 1470
Inscription : vendredi 19 décembre 2008, 19:13
Statut actuel : Enseignant
Localisation : Bordeaux

Re: Equation dans Z

Message par evariste_G »

L'équation est équivalente à : $$x^5 - 1 = (x - 1)p^2$$ avec $p$ entier, soit : $$ x^5 - p^2x + p^2-1 = 0,$$ équation quintique irréductible de la forme de Bring-Jerrard, résoluble si et seulement si $p^2=0$ (donc $p=0$) ou si $$p^2-1=\frac{4}{5}(-p^2+20\pm2\sqrt{(20+p^2)(5-p^2)})$$ avec $p^2=-\frac{5(4v+3)}{v^2+1}$, $v$ étant un rationnel (source : https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_quintique). Peut-être est-ce une piste ?
Mathématiques, LaTeX et Python : https://www.mathweb.fr
Cours particuliers de maths sur Bordeaux : https://cours-particuliers-bordeaux.fr
ounis
Utilisateur débutant
Utilisateur débutant
Messages : 6
Inscription : lundi 04 juillet 2016, 12:09

Re: Equation dans Z

Message par ounis »

On pose $A=x^4+x^3+x^2+x+1$. Si $A$ est un carré parfait alors $4A$ l'est aussi.

On a : $(2x^2+x+1)^2-4A=(x+1)(x-3)$ et $(2x^2+x+1)^2-4A>0$ si $x<-1$ ou $x>3$ donc $(2x^2+x)^2<4A<(2x^2+x+1)^2$, pour tout $x>3$ ou $x<-1$, $4A$ est encadré par deux carrés consécutifs et par suite pour tout $x>3$ ou $x<-1$, $4A$ ne peut pas être un carré parfait, donc $A$ aussi.

Conclusion. Seulement pour $x=-1$ ou $x=0$ ou $x=3$, $A$ est un carré parfait.
Dernière modification par MB le mardi 12 mai 2020, 09:54, modifié 1 fois.
gigiair
Utilisateur chevronné
Utilisateur chevronné
Messages : 2606
Inscription : samedi 08 juillet 2006, 20:56
Localisation : Saint Bonnet Elvert

Re: Equation dans Z

Message par gigiair »

Astucieux. Ce qui m'interpelle toujours dans de tels problèmes c'est de savoir comment on peut en avoir l'idée.
JJR.
LaTeXien migrateur.