Surfaces régulières

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Natmar

Surfaces régulières

Message non lu par Natmar »

Bonjour,

Pourriez-vous m'aider à propos de ce problème?

On sait qu'à chaque point d'une surface paramétrée et régulière on peut définir un plan tangent. Je voudrais savoir si l'existence du plan tangent dépend de la paramétrisation choisie pour définir la surface ou si son existence ne dépend que du support de la surface? C'est à dire, si une surface est non-régulière par rapport a une paramétrisation donnée, on ne peut pas conclure que la surface n'admet pas de plan tangent sur tous ses points?

Merci d'avance!!
la main gauche

Message non lu par la main gauche »

Deux paramétrisations régulières (de différentielle de rang maximal+homéo local) donnent la même structure différentielle et les même espaces tangents: c'est le théorème des sous-variétés qu'on peut lire dans l'excellent PGCD de François Rouvière. Attention il y a de nombreuses subtilités dans la définition de paramétrisation régulière (notamment l'affaire de locale homéomorphie).

Si une paramétrisation n'est pas régulière c'est peut-être juste parcequ'on s'est lamentablement gourré: par exemple paramétrer la droite $y=0$ par $x \mapsto x^2$ donne un espace tangent non défini en $0$; pourtant une droite est une sous-variété des plus sympathiques!
Natmar

Message non lu par Natmar »

On considère l'existence d'un plan tangent une caractéristique intrinsèque du support de la surface ou son existance est liée à la paramétrisation?
Par rapport à l'exemple de la droite, on peut dire que cette courbe n'a pas de droite tangente au zéro?
la main gauche

Message non lu par la main gauche »

Euh je me suis gourré (pas en complexes, mais bon ...) on paramètre la droite y=0 par (x^3,0); sinon il en manque un petit morceau.

Ensuite la paramétrisation est importante parcequ'on peut paramétrer des ensembled identiques en leur donnant des structures différentielles différentes (incompatbiles).

Essayer de travailler intrinsèquement, c'est-à-dire s'affranchir totalement des paramétrisations, est un problème très délicat. On arrive à faire des choses de ce genre en géométrie algébrique affine --- mais il y a une hypothèse très restrictive: il faut que l'ensemble étudié soit le lieu des zéros d'une fonction polynomiale. Par exemple as-tu une idée de définition d'un plan tangent à une surface de support donné X? Et d'abord comment dire que X est de dimension 2 (ce qu'on sous-entend quand on parle de plan tangent) sans paramétrisation? C'est un sujet épineux, on peut lire la préface de ``Introduction to topology'' de Lefschetz pour se rendre compte des difficultés que l'on rencontre en suivant cette voie là.
Natmar

Message non lu par Natmar »

Vous avez tout à fait raison. Je ne pensais qu'à des surfaces "concrètes".
Merci beaucoup