Corps de Galois encore et toujours...

Discussions générales concernant les mathématiques.
[participation réservée aux membres inscrits]
Règles du forum
Merci de soigner la rédaction de vos messages et de consulter ce sujet avant de poster. Pensez également à utiliser la fonction recherche du forum.
BenJ95

Corps de Galois encore et toujours...

Message non lu par BenJ95 »

Bonjour à tous!
Je me pose la question suivante :
je travaille dans un corps de galois de caractéristique 2 , type $GF(2^8)$. L'addition est donc définie comme un ou exclusif. Est-ce que cela veut dire que 2 * alpha (je veux dire alpha + alpha), alpha étant un élèment du corps, vaut 0?
J'ai regardé pas mal de cours sur le sujet et je n'ai pas trouvé la réponse explicitement.
Merci d'avance.
Tryphon
Modérateur honoraire
Modérateur honoraire
Messages : 1839
Inscription : mercredi 01 juin 2005, 18:39
Localisation : Un peu plus à l'Ouest

Message non lu par Tryphon »

Je pense que oui.

J'ai envie de dire qu'un corps de caractéristique $2$ est un $\mathbb{F}_2$-espace vectoriel. Il admet donc une base $(e_i)_{i\in I}$, et tout élément $\alpha$ s'écrit comme CL finie des $e_i$ :

$$\ds\alpha = \sum_{i = 1}^n \lambda_i e_i$$

avec $\lambda_i\in\mathbb{F}_2$. Donc pour les $\lambda_i$, il n'y a pas de problèmes, $\lambda_i + \lambda_i = 0$. Donc :

$$\ds\alpha + \alpha = \sum_{i = 1}^n (\lambda_i + \lambda_i)e_i = 0$$
Pas de questions en MP
La calculatrice, c'est comme Linux, c'est de la merde !
Arnaud
Modérateur général
Modérateur général
Messages : 7095
Inscription : lundi 28 août 2006, 13:18
Localisation : Allemagne

Message non lu par Arnaud »

Pourquoi décomposer sur la base ?
Si $E$ est de caractéristique $2$, $2\alpha =0$ pour $\alpha \in E$ par définition de la caractéristique ( enfin presque ).
Ai-je raté qqch ?
Arnaud
Un peu d'info - Pyromaths - Pas d'aide en MP (non plus)
Tryphon
Modérateur honoraire
Modérateur honoraire
Messages : 1839
Inscription : mercredi 01 juin 2005, 18:39
Localisation : Un peu plus à l'Ouest

Message non lu par Tryphon »

A priori non, et d'ailleurs ma première réponse était celle-là. Mais ayant peur moi aussi de rater quelque chose, j'ai préféré plonger plus profondément les mains dans le cambouis :D
Pas de questions en MP
La calculatrice, c'est comme Linux, c'est de la merde !
la main gauche

Message non lu par la main gauche »

Si A est un anneau avec élément unité J il i y a un unique morphisme d'anneaux c de Z dans A, celui qui applique 1 sur J (``propriété universelle de l'anneau Z''). On utilise cette propriété, souvent sans le dire, pour expliquer qu'on peut multiplier les éléments d'un groupe abélien M par un élément de Z. Ici l'anneau A est celui des endomorphismes de groupes de M. La caractéristique de M, c'est le noyau du morphsime c de là haut, qu'on identifie avec le nombre entier positif qui engendre cet idéal. Ainsi, dire qu'un anneau M est de caractéristique k c'est dire que la multiplication par les multiples entiers de k est l'endomorphsime nul, les principales difficultés étant d'ordre terminologique puisque tous ces mots n'apportent pas véritablement de concept nouveau.