Triangle de Pascal

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Tunaki
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Triangle de Pascal

Message non lu par Tunaki »

Je me suis intéressé sur les valeurs des cosinus qui ne sont pas remarquables. En cherchant un peu sur le net, on trouve le fameux triangle de Pascal qui permet de trouver des valeurs pour $\cos(\displaystyle\frac{\pi}{n})$ où $n \in \N$.
Sur ce lien http://jc.michel.free.fr/trianglepascal/cosinus.php, il nous explique comment trouver la valeur exacte de $\cos(\ds\frac{\pi}{5})$. Alors, c'est bien joli, mais je n'ai pas compris un point.

Comment sais-t-on que les racines du polynômes sont de la forme $4\cos^2(\ds k\cdot\frac{\pi}{5}), k = \{1,2\}$ ?
Il ne semble pas y répondre sur la page. Avez-vous une idée ?
rebouxo
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Message non lu par rebouxo »

+1. Il te décrit les calculs, mais ne fournit aucune preuve de ce qu'il avance.
Dommage.
Olivier
A line is a point that went for a walk. Paul Klee.
Par solidarité, pas de MP.
Jean-charles
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Message non lu par Jean-charles »

Sinon il y a cette méthode:
$x^5-1=0$ a 5 racines qui sont 1, $\exp(\dfrac{2i\pi}{5})$, $\exp(\dfrac{-2i\pi}{5})$, $\exp(\dfrac{4i\pi}{5})$ et $\exp(\dfrac{-4i\pi}{5})$.
Or $x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$ et $x^4+x^3+x^2+x+1=x^2(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}+1+x+x^2)$
En remarquant que $(x+\dfrac{1}{x})^2=x^2+\dfrac{1}{x^2}+2$, on obtient:
$x^4+x^3+x^2+x+1=x^2[(x+\dfrac{1}{x})^2+(x+\dfrac{1}{x})-1]$
Comme $\exp(\dfrac{2i\pi}{5})$ est une racine de $x^4+x^3+x^2+x+1=0$, on en déduit que $\exp(\dfrac{2i\pi}{5})+\dfrac{1}{\exp(\dfrac{2i\pi}{5})}$ est racine de $X^2+X-1=0$.
Or $\exp(\dfrac{2i\pi}{5})+\dfrac{1}{\exp(\dfrac{2i\pi}{5})}=\exp(\dfrac{2i\pi}{5})+
\exp(\dfrac{-2i\pi}{5})=2\cos(\dfrac{2\pi}{5})$
Donc $2\cos(\dfrac{2\pi}{5})$ est la racine positive de $X^2+X-1=0$.
Ainsi on peut trouver $\cos(\dfrac{2\pi}{5})$ puis $\cos(\dfrac{\pi}{5})$.
Tunaki
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Message non lu par Tunaki »

Comme $\exp(\dfrac{2i\pi}{5})$ est une racine de $x^4+x^3+x^2+x+1=0$, on en déduit que $\exp(\dfrac{2i\pi}{5})+\dfrac{1}{\exp(\dfrac{2i\pi}{5})}$ est racine de $X^2+X-1=0$.
Peux-tu expliquer comment tu déduit que $\exp(\dfrac{2i\pi}{5})+\dfrac{1}{\exp(\dfrac{2i\pi}{5})}$ est racine de $X^2+X-1=0$ ? J'ai pas tout pigé là.

EDIT : Précique que $X = x + \dfrac{1}{x}$...
Jean-charles
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Message non lu par Jean-charles »

On a $x_0$ une racine de $x^4+x^3+x^2+x+1=0$
Mais on sait que $x^4+x^3+x^2+x+1=x^2\left[\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-1\right]$
Par conséquent $x_0$ est une racine de $\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-1=0$ car $x_0 \neq 0$.
En posant $X=x+\dfrac{1}{x}$, on en déduit que $x_0+\dfrac{1}{x_0}$ est racine de $X^2+X-1=0$.
Et ici $x_0=\exp\left(\dfrac{2i\pi}{5}\right)$
Dernière modification par Jean-charles le vendredi 16 février 2007, 17:39, modifié 1 fois.
kojak
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Message non lu par kojak »

ben car
$x^4+x^3+x^2+x+1=x^2\left[\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-1\right]$
Donc comme $exp\left(\dfrac{2i\pi}{5}\right)$ est racine du membre de droite et que son carré n'est pas nul, $exp\left(\dfrac{2i\pi}{5}\right)+\dfrac{1}{exp\left(\dfrac{2i\pi}{5}\right)}$ est racine de $X^2+X-1$..

[Edit Kojak : grillé :lol: ]
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Jean-charles
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Message non lu par Jean-charles »

kojak a écrit :...[Edit Kojak : grillé :lol: ]
De 4 minutes, c'est pas beaucoup :bowdown:
Et puis ton exponentiel, ben il est pas beau... :lol:
Par contre, j'aime bien tes parenthèses...
kojak
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Message non lu par kojak »

Jean-charles a écrit :Et puis ton exponentiel, ben il est pas beau... :lol:
j'ai eu la flemme d'écrire

Code : Tout sélectionner

\text{exp}
:roll:
Jean-charles a écrit : Par contre, j'aime bien tes parenthèses...
Ben merci..

Code : Tout sélectionner

\left(... \right)
comme ça elles prennent la taille de ce qu'il y a dedans...
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Arnaud
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Message non lu par Arnaud »

Pour les fonctions usuelles :

Code : Tout sélectionner

$\exp$ et $\ln$ et $\cos$
$\exp$ et $\ln$ et $\cos$
Arnaud
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Message non lu par kojak »

Arnaud a écrit :Pour les fonctions usuelles :

Code : Tout sélectionner

$\exp$ et $\ln$ et $\cos$
$\exp$ et $\ln$ et $\cos$
Merci Arnaud... c'est vrai que pour l'expo, ça fait longtemps que je ne l'avais pas utilisé...
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