Triplets pythagoriciens (demande de démonstration)

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xxxxxxxx

Triplets pythagoriciens (demande de démonstration)

Message non lu par xxxxxxxx »

Bonjour

Voici un "truc" que j'ai découvert pour lequel j'aimerais bien que l'on m'explique la démonstration mathématique (ce n'est pas de mon niveau je pense), ou au moins qu'on me confirme que la démonstration existe.

On veut
A² + B² = C²
A, B, C entiers
si on ne retient que les cas où PGCD(A, B, C)=1, c'est à dire qu'on ne retient pas les formules n A² + n B² = n C²


Pour B impair

(on peut faire une présentation comparable pour B pair mais elle est légèrement plus compliquée)

on pose x impair tel que x² < B

On défini A par B²=(2A+x²)*x²

soit A=( (B²/x²) - x²) /2

les valeurs de x à utiliser pour que A soit entier seront telles que :
(B - x²)/x soit un entier

C sera alors un entier tel que C =A + x²

exemple :

B = 217
sqr(B) = 14,....
max(x) = 13 < sqr(B)
valeurs possibles de
x x²
1 1
3 9
5 25
7 49
9 81
11 121
13 169

on teste les 7 valeurs de x pour (B - x²)/x

pour (B - x²)/x entier on trouve x=1 et x=7

on reporte les valeurs de x dans A = ( ( 47089/x²) - x²)/2

A sera nécessairement entier pour x=1 et x=7 (il ne le sera pas pour les autres valeurs de x)

A = 23544 et A= 456
C = 23545 et C= 505

on aura immédiatement C = A + x²

autrement dit et pour résumer :

B impair (on peut faire une présentation très proche pour B pair)
x impair tel que x²<B
si (B-x²)/x entier,
je sais immédiatement définir A et C entiers en fonction de la variable x

Cette présentation résulte de tests comparatifs empiriques réalisés avec Qbasic (jusqu'à B = 4450 - en fait jusqu'à 6000 mais j'ai des doutes sur la fiabilté des résultats, les chiffres exprimés étant trop grands) . Je n'ai pas de démonstration.

L'avantage de cette méthode, si avantage il y a, c'est de pouvoir lister simplement et de manière ordonnée, tous les triplets pythagoriciens pour B impair très rapidement.

Aussi si vous aviez une petite démonstration à me mettre sous la dent j'en serais très heureux.

Merci d'avance
dgvincent
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Message non lu par dgvincent »

Trop cool le pseudo et le profil...
Bravo xxxxxxxxxxx (qui doit être là incognito ! :P )
xxxxxxxx

Message non lu par xxxxxxxx »

Trop cool le pseudo et le profil...
Bravo xxxxxxxxxxx (qui doit être là incognito ! )
Mon prénom est Stéphane,
x parce que j'aime bien les équations
8 parce que on peut le retrouver dans ma date de naissance : 2 10 1968
10-2 = 8
9-1 = 8
6 8 10 : 8 se trouve au milieu de la série

:D

j'oubliais 6+2=8
Dernière modification par xxxxxxxx le vendredi 02 mars 2007, 19:40, modifié 1 fois.
Arnaud
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Message non lu par Arnaud »

Ce que tu as écris ne va pas, ou n'est pas suffisamment clair.
En effet, rien ne prouve que $A$ est un nombre entier.
Arnaud
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xxxxxxxx

Message non lu par xxxxxxxx »

Ce que tu as écris ne va pas, ou n'est pas suffisamment clair.
En effet, rien ne prouve que A est un nombre entier.
J'ai peut être fait une erreur...

J'ai fait des tests empiriques jusqu'à B = 4450

tu as un contre exemple à me donner s'il te plait ?
Arnaud
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Message non lu par Arnaud »

$A$ est définie par la division de $B$ par $x$, il faut donc que $x$ soit un diviseur de $B$.
As-tu simplement oublié de le préciser ?
Arnaud
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Message non lu par xxxxxxxx »

Non... je l'avais tout simplement même pas remarqué, merci beaucoup.

C'est peut être une façon d'aborder la démonstration, je vais gratter un peu dessus mais je doute de mes capacité à trouver :wink:
Dernière modification par xxxxxxxx le vendredi 02 mars 2007, 17:33, modifié 1 fois.
Arnaud
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Message non lu par Arnaud »

C'est pareil :D

$x^2$ doit diviser $B^2$, ce qui revient à dire que $x$ divise $B$.
Arnaud
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xxxxxxxx

Message non lu par xxxxxxxx »

milles excuses... :oops: le temps de réfléchir et de modifier mon post...
xxxxxxxx

Message non lu par xxxxxxxx »

Arnaud a écrit :C'est pareil :D

$x^2$ doit diviser $B^2$, ce qui revient à dire que $x$ divise $B$.
(j'avais mis bêtement B² et non B à diviser par x... :oops: )
Arnaud
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Message non lu par Arnaud »

Oui c'est pas grave.
Du coup, pour que ce soit intéressant, il ne faut pas que $B$ soit premier, et il faut que $x$ soit un diviseur de $B$.
De plus, $\dfrac{B^2}{x^2}-x^2$ doit être positif, et donc $x \le \sqrt{B}$.
Enfin, tu fais encore une division par 2, faudra y réfléchir....
Arnaud
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Message non lu par xxxxxxxx »

euh attention pour B premier il y a toujours la posiblité de diviser par 1
Arnaud
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Message non lu par Arnaud »

....ou $B$.
Du coup $x=1$ et tu n'as besoin de trimballer la notation $x$ tout le long.
Arnaud
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Message non lu par xxxxxxxx »

Arnaud a écrit :Oui c'est pas grave.
Du coup, pour que ce soit intéressant, il ne faut pas que $B$ soit premier, et il faut que $x$ soit un diviseur de $B$.
De plus, $\dfrac{B^2}{x^2}-x^2$ doit être positif, et donc $x \le \sqrt{B}$.
Enfin, tu fais encore une division par 2, faudra y réfléchir....
Pour définir ma valeur de A² :
je trace C² avec impair
à l'intérieur je trace mon carré A² ( avec A pair ), je prolonge mes droites dans le carré C pour obtenir mon carré B à l'intérieur du carré C

b'=C-A sera impair
j'aurais nécessairement 2A/b'+1 surfaces b'²
soit l'équivalent d'un carré (2A/b'+1)b'²
=2Ab'+b'²
=(2A+b')b'²
soit un carré B de coté SQR( (2A+b')b' )

C'est cette formule qui est utilisée dans mon premier post à la différence que b' est remplacé par x

j'espère ne pas avoir fait de bourdes :roll:
Dernière modification par xxxxxxxx le vendredi 02 mars 2007, 19:07, modifié 1 fois.
xxxxxxxx

Message non lu par xxxxxxxx »

Arnaud a écrit :....ou $B$.
Du coup $x=1$ et tu n'as besoin de trimballer la notation $x$ tout le long.
Je suis pas sur d'avoir compris..

si tu veux dire x=B on ne peut pas on a comme contraite x²<B

si tu veux dire autre chose réexpliques s'il te plait
xxxxxxxx

Message non lu par xxxxxxxx »

xxxxxxxx a écrit :
Arnaud a écrit :Oui c'est pas grave.
Du coup, pour que ce soit intéressant, il ne faut pas que $B$ soit premier, et il faut que $x$ soit un diviseur de $B$.
De plus, $\dfrac{B^2}{x^2}-x^2$ doit être positif, et donc $x \le \sqrt{B}$.
Enfin, tu fais encore une division par 2, faudra y réfléchir....
Pour définir ma valeur de A² :
je trace C² avec impair
à l'intérieur je trace mon carré A² ( avec A pair ), je prolonge mes droites dans le carré C pour obtenir un carré b' à l'intérieur du carré C

b'=C-A sera impair
j'aurais nécessairement 2A/b'+1 surfaces b'²
soit l'équivalent d'un carré (2A/b'+1)b'²
=2Ab'+b'²
=(2A+b')b' .... (pardon pour le "²" qui n'avait rien à faire là !)
soit un carré B de coté SQR( (2A+b')b' )

C'est cette formule qui est utilisée dans mon premier post à la différence que b' est remplacé par x

j'espère ne pas avoir fait de bourdes :roll:
deux bourdes milles excuses :oops:
Arnaud
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Message non lu par Arnaud »

xxxxxxxx a écrit :
Arnaud a écrit :....ou $B$.
Du coup $x=1$ et tu n'as besoin de trimballer la notation $x$ tout le long.
Je suis pas sur d'avoir compris..

si tu veux dire x=B on ne peut pas on a comme contraite x²<B

si tu veux dire autre chose réexpliques s'il te plait
Oui, c'est ce que je veux dire.
Pour le post qui précède, il y un problème, car tu confonds nombre et figure géométrique, donc j'ai beaucoup de mal à comprendre où tu veux en venir.
Arnaud
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xxxxxxxx

Message non lu par xxxxxxxx »

Arnaud a écrit :
xxxxxxxx a écrit :
Arnaud a écrit :....ou $B$.
Du coup $x=1$ et tu n'as besoin de trimballer la notation $x$ tout le long.
Je suis pas sur d'avoir compris..

si tu veux dire x=B on ne peut pas on a comme contraite x²<B

si tu veux dire autre chose réexpliques s'il te plait
Oui, c'est ce que je veux dire.
Pour le post qui précède, il y un problème, car tu confonds nombre et figure géométrique, donc j'ai beaucoup de mal à comprendre où tu veux en venir.
Pour x=B on a une deuxième raison de ne pas le retenir : A=( (B²/x²) - x²) /2
A pair > 1 serait négatif : B²/B² - B² = 1 - B² < 0

Je vais essayer d'être plus clair sur la façon dont je trouve ma formule :

j'ai un segment de longeur C = A + b' (C impair et A pair) exemple : C=5 et A=4
je trace les carrés de coté C, et de coté A (je construis mon carré A en prolongeant mes segments jusqu'aux cotés du carré C)

J'obtiens en terme de mesure des surfaces :
C²= A² + b'² + Ab' + Ab'
C²= A² + b'² + 2Ab' ...tiens j'avais pas remarqué : C² = (A + b')² ce qui est logique.

Pour obtenir C² = A² + B²
je pose B²= 2Ab' + b'² (soit l'égalité entre deux surfaces dont une sera un carré)
j'arrive à B² = (2A + b') b'

( c'est cette valeur de b' que j'ai "mouliné" pour trouver que c'était systématiquement des valeurs telles que b' = x², avec x impair pour les triplets pythagoriciens quand B impair)

Je remplace b' par x² pour retrouver B²=(2A + x²) x²
cette formule me sert à trouver A dans mon premier post :
B²/x² - x² = 2A
(B²/x² - x²)/2 = A

Encore une fois j'espère ne pas avoir laissé trainé des erreurs. :roll:
xxxxxxxx

Re: Triplets pythagoriciens - demande de démonstration

Message non lu par xxxxxxxx »

xxxxxxxx a écrit :...
On veut
A² + B² = C²
A, B, C entiers
si on ne retient que les cas où PGCD(A, B, C)=1, c'est à dire qu'on ne retient pas les formules n A² + n B² = n C²

Pour B impair

(on peut faire une présentation comparable pour B pair mais elle est légèrement plus compliquée)

on pose x impair tel que x² < B

On défini A par B²=(2A+x²)*x²

soit A=( (B²/x²) - x²) /2

les valeurs de x à utiliser pour que A soit entier seront telles que :
(B - x²)/x soit un entier

C sera alors un entier tel que C =A + x²
Milles excuses, il manquait une condition pour que l'énoncé soit correct ( en fait c'est une erreur de logique à la base )
xxxxxxxx a écrit :...
les valeurs de x à utiliser pour que A soit entier seront telles que :
Y= (B - x²)/x soit un entier
de plus, Y ne doit pas être un multiple de x, ( pour x>1, si Y = x Y' ma condition deviendrait B - x² entier, ce qui ne marche pas car toujours vrai)

Si Y est multiple de x on aura une forme n A² +n B² = n C²

cette contrainte n'est pas suffisante...

Correction :
la contrainte supplémentaire est que Y et x doivent être premiers entre eux quand x>1

Remarque : pour B impair, Y sera pair


(Je vais étudier l'impact de cette modification pour B pair...)

Il semble que ce soit la même contrainte pour B pair avec

x impair tel que Z = 2 x² * ( 4 ^ n) < B² (n entier naturel dont n=0)
A défini de la même manière avec Z au lieu de x²

On défini Y= ( B - Z ) / ( 2 * sqr ( Z / 2) )
Y doit être un entier impair de plus, Y et x doivent être premiers entre eux, quand x>1
(je dois encore faire des vérifications mais c'est ok jusqu'à environ 1000 pour B pair)

Tout ceci sous réserve qu'il n'y ait pas d'erreur dans mes programmes de test.
Dernière modification par xxxxxxxx le dimanche 04 mars 2007, 03:28, modifié 5 fois.
Arnaud
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Message non lu par Arnaud »

xxxxxxxx a écrit : Pour x=B on a une deuxième raison de ne pas le retenir : A=( (B²/x²) - x²) /2
A pair > 1 serait négatif : B²/B² - B² = 1 - B² < 0
Oui, c'est ce que je disais plus haut.
xxxxxxxx a écrit : j'ai un segment de longeur C = A + b' (C impair et A pair) exemple : C=5 et A=4
je trace les carrés de coté C, et de coté A (je construis mon carré A en prolongeant mes segments jusqu'aux cotés du carré C)

J'obtiens en terme de mesure des surfaces :
C²= A² + b'² + Ab' + Ab'
C²= A² + b'² + 2Ab' ...tiens j'avais pas remarqué : C² = (A + b')² ce qui est logique.

Pour obtenir C² = A² + B²
je pose B²= 2Ab' + b'² (soit l'égalité entre deux surfaces dont une sera un carré)
j'arrive à B² = (2A + b') b'

( c'est cette valeur de b' que j'ai "mouliné" pour trouver que c'était systématiquement des valeurs telles que b' = x², avec x impair pour les triplets pythagoriciens quand B impair)

Je remplace b' par x² pour retrouver B²=(2A + x²) x²
cette formule me sert à trouver A dans mon premier post :
B²/x² - x² = 2A
(B²/x² - x²)/2 = A
Donc on a une figure avec ds carrés imbriqués l'un dans l'autre.
Maintenant le problème que tu as à régler, c'est de savoir quand $(2A+b')b'$ est un carré, ce qui à priori n'est pas simple.

As-tu lu ceci :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Triplet_pythagoricien ?
Arnaud
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