Linéarisation de cos(x)^n

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Tunaki
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Linéarisation de cos(x)^n

Message par Tunaki »

Bonjour,

Je crée un nouveau sujet pour ce problème car le précédent semble avoir quelques problème. Je ne peux plus y accéder. Un admin pourra donc supprimer l'ancien post.

Je redis donc le problème.

Je voulais trouver une linéarisation de $\cos^n(x)$.

$$\begin{aligned}
\cos^n(x) & = \left(\dfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)^n \\
& = \dfrac{1}{2^n} \, \ds\sum_{k=0}^n \, \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} \, e^{(n-k)ix} \, e^{-kix} \\
& = \dfrac{1}{2^n} \, \ds\sum_{k=0}^n \, \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} \, e^{(n-2k)ix} \\
\end{aligned}$$

Et là, guiguiche me disait de remarquer que $e^{(n-2k)ix} = e^{nix} \, \left(e^{-2ix}\right)^k$. Sauf que je vois pas trop ce qu'on peut en tirer. Pourrais-tu expliquer un peu plus ?

Arnaud
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Message par Arnaud »

Le terme mis en facteur ne dépend pas de $k$, donc tu peux le mettre en facteur pour toute la somme.
Regarde ce qu'il se passe une fois que tu auras factorisé ce terme.
Arnaud
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Tunaki
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Message par Tunaki »

On aurait alors :

$\cos^n(x) = \dfrac{1}{2^n} \, e^{nix} \ds\sum_{k = 0}^n \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} \left(e^{-2ix}\right)^k$

Il est facile de calculer $\ds\sum_{k=0}^n \left(e^{-2ix}\right)^k$ mais le facteur $\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$ complique la chose.

On peut toujours transformer l'écriture en disant que :
$\ds\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix} \left(e^{-2ix}\right)^k = \left(1 + e^{-2ix}\right)^n$
mais cela ne sert à rien.

Arnaud
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Message par Arnaud »

Effectivement ça n'apporte rien.
Je ne connais pas de formule généralisant la linéarisation, mais il y a des polynômes définis par récurrence qui permettent de les retrouver je crois.
Arnaud
Un peu d'info - Pyromaths - Pas d'aide en MP (non plus)

kilébo
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Message par kilébo »

Pour linéariser, il faut effectivement passer par les complexes comme tu l'as fait mais ensuite il faut regrouper les termes deux à deux (le premier avec le dernier, le deuxième avec l'avant dernier, etc...) pour faire apparaitre des $\cos$ ou des $\sin$.
A une erreur de calcul et de raisonnement prêt, tout cela doit être correct.

Tunaki
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Message par Tunaki »

Oui mais cela marche bien quand on a $n$ défini, comme on l'a fait en cours.
Mais dans le cas général, le développement de l'exposant $n$ ne peut se faire qu'avec le binôme de Newton, sans pouvoir le réduire, et il ne fait pas apparaître plusieurs coefficients qui se regroupent facilement deux à deux.
À moins que je rate quelquechose ?

guiguiche
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Message par guiguiche »

Oui, je suis bête de ne pas y avoir pensé plus tôt.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.

kilébo
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Message par kilébo »

Avec un $n$ arbitraire c'est exactement la même chose : il suffit de séparer ta somme en deux parties (tu auras à différencier $n$ pair de $n$ impair) et à changer d'indice dans la deuxième somme pour pouvoir faire l'appariement (tu compteras dans l'ordre décroissant au lieu de croissant) avec la première somme.
A une erreur de calcul et de raisonnement prêt, tout cela doit être correct.

Tunaki
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Message par Tunaki »

Pourrais-tu détailler un peu plus ? Car là je ne vois pas comment faire.

Valvino
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Message par Valvino »

J'ai trouvé ca dans un livre (Analyse MPSI de J.M. Monier):

linéarisation de $\cos^p$.

Premier cas: $p$ est paire, on prend $p=2m,~m \in \mathbb{N}^*$

$\displaystyle \cos^{2m}(x)=2^{-(2m-1)}\left(1/2 {2m \choose m}+\sum_{k=0}^{m-1}{2m \choose k} \cos(2(m-k).x)\right)$

Deuxième cas: $p$ est impaire, $p=2m+1,~m\in\mathbb{N}^*$.


$\displaystyle \cos^{2m+1}(x)=2^{-2m}\sum_{k=0}^{m}{2m+1 \choose k} \cos((2m+1-2k).x)$

kojak
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Message par kojak »

Bonjour,
Je ne pense pas que cette jolie formule serve dans la pratique : elle permet seulement de montrer comment peut s'écrire $\cos^n x$ tout simplement.
Dans un cas particulier, il suffit de repartir de la formule d'Euler, et de développer à l'aide de la formule du binôme...
Alors pour Tunaki, essaie de transformer par exemple $\cos ^3 x$, $\cos^4 x$ et tu verras comment ça marche :wink:
Pas d'aide par MP.

Tunaki
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Message par Tunaki »

J'avais déjà linéariser $\cos^4x$ en cours et c'est pour cela que j'essayais de voir s'il pouvait y avoir une généralisation.
Apparement, elle n'apporte pas grand chose et semble compliqué (pas (du tout) dans mon programme en tout cas).

Merci quand même Valvino d'avoir posté ça :)

freiher
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Re: Linéarisation de cos(x)^n

Message par freiher »

suite à cet article qui date quand même de 2007 je me permets de répondre sachant qu'en effectuant mon master j'ai réalisé en 1999 une recherche sur la linéarisation cos(x)^n et sin(x)^n sans passer par la formule d'Euler (c'est-à-dire les exponentiel). Si vous voulez plus de détails concernant cette étude je me ferais une joie de vous les fournir sachant que cet essaie est publié et enregistré sous modèle mathématique par un logiciel qui fonctionne sous windows. Qui plus est, mon modèle est plus simple que celui trouvé dans le livre : Analyse MPSI de J.M. Monier. pour lequel je me suis appuyer sur les recherches de Newton et Pascal.
Donc bonne recherche et bonne découverte
Bonnes fêtes de fin d'année...

NatTy
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Re: Linéarisation de cos(x)^n

Message par NatTy »

Salut, cela m'intéresse de voir les travaux dont tu parles.

desbocages
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Re: Linéarisation de cos(x)^n

Message par desbocages »

Bonjour,
J'ai des formules que j'ai établies en 2004 sur ce même sujet, et elles sont vraiment très simples. Veuillez les consulter en suivant le lien ci-dessous:
http://yakamyale.over-blog.com/article- ... 33204.html
Veuillez y laisser des commentaires svp

MB
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Re: Linéarisation de cos(x)^n

Message par MB »

Sacré déterrage de topic ! :shock:
Par ailleurs l'article indiqué est peut être intéressant mais difficilement lisible. :|
MB (Pas d'aide en Message Privé)
Merci d'utiliser MathJax (voir ici) et d'éviter le style SMS pour la lisibilité des messages.

desbocages
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Re: Linéarisation de cos(x)^n

Message par desbocages »

Bonjour, si quelqu'un a des difficultés à lire sur mon blog, me contacter à l'adresse desbocages-mathematex@yahoo.fr pour que je puisse lui filer une copie pdf du document. Je reconnais que le blog est fait d'images parfois difficiles à lire.
Sincèrement,
Desbocages.

Tinou
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Re: Linéarisation de cos(x)^n

Message par Tinou »

Bonjour !!

Je suis formateur en mathématiques (débutant ^^), et j'ai un problème : je dois enseigner la linéarisation à des jeunes qui ne connaissent pas le binôme de Newton, ni les combinaisons, ni l'outil somme...
Qui ont normalement connaissance des formules d'Euler et Moivre...

Sauriez-vous comment vous y prendre, par exemple, pour linéariser cos^5(x) ?
Sans Newton, on peut développer manuellement, mais cela me semble peu intéressant...

Merci d'avance, en espérant ne pas poster au mauvais endroit ^^

Tinou

kojak
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Re: Linéarisation de cos(x)^n

Message par kojak »

Bonjour,
Tinou a écrit :
Je suis formateur en mathématiques (débutant ^^), et j'ai un problème : je dois enseigner la linéarisation à des jeunes
quel niveau ? bac +1 ? bac + 2 ou autre ? en formation classique ou pour adulte ou autre ?
Tinou a écrit :qui ne connaissent pas le binôme de Newton, ni les combinaisons, ni l'outil somme...
ce n'est pas un problème. Ce peut être justement le moment de l'introduire à l'issue.
Tinou a écrit : Qui ont normalement connaissance des formules d'Euler et Moivre...
Euler suffit
Tinou a écrit : Sauriez-vous comment vous y prendre, par exemple, pour linéariser cos^5(x) ?
Déjà à la main je ne le fais pas faire. Je m’arrête à puissance 4, car ça commence à être pénible.
Tu ne cherches pas à former des matheux non ? mais des gens qui sachent utiliser ces outils pour les études, non ? d'où ma première question
Tinou a écrit : Sans Newton, on peut développer manuellement, mais cela me semble peu intéressant
Déjà ils devraient connaître $(a+b)^2$, ensuite tu peux leur faire faire à la main $(a+b)^3$ et $(a+b)^4$. A l'issue, ben introduction du triangle de Pascal, et interprétation de ce triangle pour les développements de $(a+b)^n$ et ensuite formule de celui qui a pris la pomme sur la tête pendant sa sieste.
Pas d'aide par MP.

styren
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Re:

Message par styren »

kojak a écrit :Bonjour,
Je ne pense pas que cette jolie formule serve dans la pratique : elle permet seulement de montrer comment peut s'écrire $\cos^n x$ tout simplement.
:wink:
J'ai longtemps cru que ce genre de formule ne sert à rien en pratique. Et un jour j'ai croisé cet exercice :
On pose $p=2n+1$ et l'on suppose que $p$ est premier. Montrer que
$$\mathopen{(}-1\mathclose{)}^{n}(2n)!\equiv2^{4n}\mathopen{(}n!\mathclose{)}^{2}\pmod{p^{2}}.$$

L'exercice est posé tel quel, sans aucune indication, dans un bouquin d'arithmétique de 1894.